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在 一 个 直 角 三 角 形 里 住 着 三 个 内 角 ， 平 时 ， 它们 三 兄 弟 非 常 团 结 。 可 是 有 一 天 ， 老 二 突 然 不 高 兴 ，发 起 脾 气 来 ， 它 指 着 老 大 说 ： “ 你 凭 什 么 度 数 最 大 ，我 也 要 和 你 一 样 大 ！ ” “ 不 行 啊 ！ ” 老 大 说 ： “ 这是 不 可 能 的 ， 否 则 ， 我 们 这 个 家 就 再 也 围 不 起 来了 ” “ 为 什 么 ？ ” 老 二 很 纳 闷 。 同 学 们 ， 你 们 知 道 其 中 的 道 理 吗 ？内 角 三 兄 弟 之 争 想一想 三 角 形 的 三 个 内 角 和 是 多 少 ?把 三 个 角 拼 在 一 起 试 试 看 ？你 有 什 么 办 法 可 以 验 证 呢 ? 从 刚 才 拼 角 的 过 程 你 能 想 出证 明 的 办 法 吗 ?探 究 点 一 三 角 形 的 内 角 和 CB A三 角 形 的 内 角 和 等 于 180 .已 知 ABC， 求 证 ： A+ B+ C=180 证 明 ： 过 A作 EF BA， B= 2(两 直 线 平 行 ,内 错 角 相 等 ) C= 1(两 直 线 平 行 ,内 错 角 相 等 ) 又 2+ 1+ BAC=180 B+ C+ BAC=180 F2 1E CB A三 角 形 的 内 角 和 等 于 180 . 为 什 么 要 证 明 按 照 上 面 的 方 法 ,已 经 可 以 验 证 三 角 形 的内 角 和 是 180 ,但 是 由 于 形 状 不 同 的 三 角 形 有无 数 多 个 ,我 们 不 可 能 通 过 上 面 的 办 法 一 一 验 证 .再 加 上 其 验 证 过 程 中 可 能 存 在 误 差 ,不 能 保 证 其有 效 性 .所 以 我 们 需 要 一 种 能 证 明 任 意 一 个 三 角形 的 内 角 和 等 于 180 的 方 法 .这 个 方 法 就 是 证 明 . 一 个 命 题 是 否 正 确 ,需 要 经 过 使 人 信 服 的 推 理论 证 才 能 得 出 结 论 .而 证 明 是 由 命 题 的 题 设 (已知 )出 发 ,经 过 严 密 的 推 理 ,最 后 推 出 结 论 (求 证 )正 确 的 过 程 . 在 这 里 ， 为 了 证 明 的 需 要 ， 在 原 来 的 图 形上 添 画 的 线 叫 做 辅 助 线 。 在 平 面 几 何 里 ， 辅 助线 通 常 画 成 虚 线 。 证 明 ： 延 长 BC到 D， 过 C作 CE BA， A= 1 (两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 ) B= 2(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )又 1+ 2+ ACB=180 A+ B+ ACB=180 21 EDCB A三 角 形 的 内 角 和 等 于 180 . 证 明 3： 过 A作 AE BC， B= BAE (两 直 线 平 行 ,内 错 角 相 等 ) EAB+ BAC+ C=180(两 直 线 平 行 ,同 旁 内 角 互 补 ) B+ C+ BAC=180 CBE A三 角 形 的 内 角 和 等 于 1800. 思 路 总 结 为 了 证 明 三 个 角 的 和 为 180 ,转 化 为 一 个 平角 或 同 旁 内 角 互 补 ,这 种 转 化 思 想 是 数 学 中 的 常用 方 法 . 例 1 如 图 ， 在 ABC 中 ， BAC =40 , B = 75 ， AD 是 ABC 的 角 平 分 线 求 ADB 的 度 数 C BDA探 究 点 二 三 角 形 内 角 和 定 理 的 应 用 例 2 如 图 ， C 岛 在 A 岛 的 北 偏 东 50 方 向 ， B 岛在 A 岛 的 北 偏 东 80 方 向 ， C 岛 在 B 岛 的 北 偏 西 40 方向 从 B 岛 看 A， C 两 岛 的 视 角 ABC 是 多 少 度 ？ 从 C岛 看 A， B 两 岛 的 视 角 ACB 呢 ？北 北CA BD E （ 1） 在 ABC中 ， A=55 ， B=43 则 ACB= ACD . （ 2） 在 ABC中 , A=80 , B= C , 则 C_度 . （ ） 在 直 角 三 角 形 ABC中 ,一 个 锐 角 为 40 ,则 另一 个 锐 角 是 _度 .82 CB A 9850 50 (4) 在 ABC中 ， A: B: C=2:3:4,求 A 、 B、 C的 度 数 。. （ 1） 一 个 三 角 形 中 最 多 有 个 直 角 ？ 为 什 吗 ？（ 2） 一 个 三 角 形 中 最 多 有 个 钝 角 ？ 为 什 吗 ？（ 3） 一 个 三 角 形 中 至 少 有 个 锐 角 ？ 为 什 吗 ？（ 4） 任 意 一 个 三 角 形 中 ， 最 大 的 一 个 角 的 度 数 至 少 为 .60 211 （ 1） 本 节 课 学 习 了 哪 些 主 要 内 容 ？（ 2） 为 什 么 要 用 推 理 的 方 法 证 明 “ 三 角 形 的 内 角 和 等 于 180 ” ？（ 3） 你 是 怎 么 找 到 三 角 形 内 角 和 定 理 的 证 明 思 路 的 ？ 1、 在 直 角 ABC中 ， BAC=90 ， AD是 高 ， 找出 图 中 相 等 的 角 B CA C BA 2、 在 ABC中 ， A=80 ， ABC和 ACB的 平 分 线 相交 于 ， （ 1） 求 BOC的 度 数 。（ 2） 将 A换 个 度 数 ， 那 求 出 是 多 少 ？ 你 能 体 会 A和 BOC有 什 么 关 系 吗 ？ BO C 90 + 上 交 作 业 ： 教 科 书 第 16页 第 1， 2， 3题 课 后 作 业 ： “学 生 用 书 ” 的 课 后 作 业
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