量子测量567节-北京大学物理学院

北京大学量子信息物理原理课程讲稿(III)1.5,量 子 非 破 坏 测 量 （ Quantumnondemolitionmeasurements QND ）简介 （ 11, 或 7p.1100 ）1,标准量子极限 （SQL Standard Quantum Limit）因波粒二象性引致不确定关系，物理量测量精度总有下限。比如，振子基态位置的SQL为：基态能量，平均势能，振幅 A振子激发态，其能量的SQL为自由粒子位置，(1.45)注意， SQL具体数值既依赖于量子态，也和怎样测量有关，所以它们按情况不同而有所不同，底线为不确定性原理。2，量子非破坏测量的定义上面这些 SQL是否为绝对的障碍呢？回答是：在不违背不确定性原理的前提下，可以改进。一种思路，可以牺牲共轭一方为代价，去求得另一方的超精度观测（压缩态的思想）。另一28思路，就是现在的量子非破坏（QND）测量 。可观测量 A的QND 实验是对 A的多次精确而又不改变被测状态的测量 。例如，“本征测量”即为QND测量。广义些说，原则上，对一个量子系统进行给定的量子测量，总会相应存在一些动力学变量，它们不受此给定测量的扰动，在此测量中保持不变。这些动力学变量便是这种测量的QND 变量 。但在作此测量时，不能又同时又从被测态取出与QND变量不对易的其它力学量的数值，否则必定因此而干扰被测的态。例如，自由物体的速度测量是QND （或称此时速度是 QND变量），而位置测量则不是。某时刻位置测量将带来动量不确定性，会影响下一次位置测量。可以多次重复测量，但在测量间歇期间，不能有测量（与A不对易量的）污染，否则也必定会因此而干扰被测态。3，QND 所必须满足的充要条件是（1.47）?是测其数值的算符，?是被测物体和仪A是测量仪器初态， U器的联合演化算符。此条件也常被替换为更简单的充份（但非必要）的条件? ?。再替换为更充份的条件，同时还加上A,U0多次测量间歇中防污染条件。Heisenberg图象中将这些表述为(1.48)这里， H?I 为测量仪器和被测系统的相互作用。对QND变量的重复测量将得到同一结果。29第一个条件保证测量时没有仪器对A的反作用；第二个条件保证体系自由演化时不被污染。于是，测量结果变化只取决于被测量预先存在的 SQL（某些物理量有它们自己的不确定性，制约着对它们测量的精度。比如能量为，振子位相为 1 N 等）。自由粒子的 QND 为动量和能量；谐振子为平方和振幅、能量和位相（测量能量的最好办法是放弃对相角的测量，它不是运动积分）。再比如，Kerr效应就是 QND变量的另一个例子。 Kerr效应可以允许我们去测量信号光场的光子数而不扰动这个数。4，QND 的局限性注意，QND远不是对任何态的任何物理量测量都能作得到的。这里有一个针对合适的系统、选择合适的力学量、以及选择合适的测量方案的问题。通常选择 A为系统的运动积分，并放弃与之不对易的力学量的取值，以免影响被测状态，污染测量。这就是为什么说， QND是一种精确测量，测量仪器不会对被测结果（原有的先验不确定性之外）添加扰动或变化。QND 测量技术允许多次重复并且有大大高于SQL的精度。1.6, 量子弱测量（ Quantum weak measurements QWM ）简介1, 量子弱测量含义由von Neumann正交投影测量模型，对于被测系统 S和测量仪器 A组成的大系统 SA处于初态30设 H ig? ?S PA ，经测量演化成为，(1.14)注意， von Neumann模型中测量仪器指示器记录塌缩造成的被测系统关联塌缩是向本征态塌缩，彼 此 正交。弱测量内容由下面两条假设构成：设被测系统和测量仪器组成S-A 系统，初态为直积态，则假设 1 测量作用很弱，即假设相互作用强度弱而且时间短暂，由 H i g?决定的 U SA t 中 gt 0 ；S PA假设2 在测量作用后，对被测系统S 态作如下的后选择：。于是测量前后 S 的初末态不一定彼此相同，也不一定彼此正交。但相应的仪器可区分态可以正常区分。弱测量所得的测量值称为弱值。由于被测系统S 的初末态不相同，也不正交，弱值一般是复数。可证它等于推导 1: 完成后选择，有31这里 xnxgn, S t 。如果量纲n, Senergy ，则。于是，经过后选择后，测量仪器指示器将要塌缩的态为。它们是纯态，在不同测量结果之间会发生干涉。这与von Neumann 正交模型不同。这时如果指示器读数为xl （同时得到l ），导致指示器 A 态塌缩，被测系统 S 由叠加态作关联塌缩，证毕。注意，弱测量中，测量仪器指示器的“记录塌缩”所导致的被测系统的“关联塌缩”一般不是向本征态塌缩，各塌缩分支之间彼此不正交。另外，由于测量作用很弱，可以假定相互作用为瞬时?0 （1）H i g t t0S PA ， gcm energy于是演化算符指数的时间积分消失，g tg，xn x g n,S 。推导 2: 下面转述原始文献【 19】的推导。考虑一个粒子系综 S, 初态处于坐标 q的Gaussian态1 4in S ，末态为经后选择出来的f S 。在12exp q2 4232Hamiltonian Ht qAS 作用下由初态开始演化。于是当足够小，只要在展开式各阶项中，下面最大值满足不等式则上面结果，作为坐标q 的函数，主要由变化更迅速的Gaussian因子决定，和初末态有关部分是缓变的。于是可以近似有Sf U S tin SSfin SSf ASinS exp q2 421 iqfinSSSf ASinS exp q2 42Sfinexp iqSfinSS注意，弱测量所得的弱值复数AS ，Sf ASin SAWSfinS会强烈依赖于末态的预选择或初选择。其实，假如初态inS 和末态fS 接近于正交的话，它甚至可能很大于AS 的所有本征值。这就是常说的弱测量的放大作用。332, 量子弱测量初步应用 15-21利用弱测量技术， 可以做很多以前很难做的实验。其中比如，测量双缝实验中在平均意义上的光子轨迹（15，Science，2011 年），Bell 不等式破坏的检验（ 16，Nature Physics，2010 年），观察光的自旋 Hall 效应（17，Science ，2008年），波函数直接测量（20, Nature,2011），信号放大（21 PRL，2009），以及量子态 X-射线摄影（QST），量子徉谬鉴别、量子纠缠保护，量子系统反馈控制，等等。1.7, 量子测量及相关问题小结1，量子测量中时间塌缩和空间非定域性的问题将后面第八章 Zeno效应叙述和第九章 Teleportation& Swapping 实验叙述结合起来看，人们可以得到结论：量子测量使系统在其中演化的时间和空间塌缩了。这些蕴含在量子力学公设中的奇妙结论近几年已逐步为实验所证实。这些重大问题不仅在相关章节中会谈及， 在第五章将专门论述量子理论的空间非定域性问题。2，量子测量理论中存在的问题如同在测量公设中所说的， 一个完整的理想的量子测量过程可以分成三个阶段：纠缠分解、波包塌缩、初态制备。在被测态的纠缠分解阶段中，虽然因为观测量的不同， 使态分解方式不同， 但只要尚未进入塌缩阶段， 在此期间被测态仍然保持原来的全部相干性。 接下来的第二个阶段里，发生了至今仍难以捉摸、 难以定论（Landau 称为 “深邃”12）的过程 状态的塌缩。34这个塌缩过程有四大特征：随机的、不可逆的、斩断原有相干性的、非定域的 。这里几乎每一个问题都是有待解决的重大问题。 面对塌缩过程存在众多很基本问题的局面，至今众说纷纭，莫衷一是。比如，测量塌缩为什么是随机性的？这种随机性的物理根源是什么？ 或者说有物理根源吗？为什么塌缩是不可逆的？塌缩过程中微观体系的熵真是增加了？测量总是各人各自在局域空间进行的 （无论对单体还是多体测量均如此） ，而造成的结果 （不论自旋态或空间态、单粒子态或多粒子态） 塌缩为什么总是空间非定域性的？塌缩中的非定域性含义究竟是什么？塌缩 关联塌缩和相对论性定域因果律有没有深刻的矛盾？真的能够认为塌缩 关联塌缩是同一个事件吗？这样就真的解决了问题吗？为什么迄今实验表明了量子理论是非定域性的？量子 Zeno效应已经表明：量子测量会导致被测系统演化时间的均匀流淌性消失， 为什么事情会是这样？物理解释是什么？ Teleportation和 Swappin实验表明：量子测量会导致空间的均匀广延性消失， 这又是为什么？还有， 面对各色各样相互作用以及五花八门的实验分析时， 什么样的物理过程只能算是相互作用？又什么样的物理过程才算是量子测量？可以为两种过程划出明确的界线吗？又有人说， 两者之间不存在界限， 测量的塌缩过程从根本上可以用 Schrodinger方程演化来解释，事情真是这样吗？迄今为止，试图解决塌缩过程四大特征的前三个的工作很多， 但都认为应当计入测量仪器。 并且认为， 如果将测量仪器包括在内， 系统和测量仪器组成的大系统的演化是幺正的、 可逆的、保持相干性的。35就是说，纯态框架足以描述任何封闭系统的量子状态，其演化总是幺正的、可逆的、保持相干性的。也就是说，应当相信整个宇宙是量子力学的，相信整个宇宙的状态是纯态，演化是幺正的和可逆的、 相干性是保持着的。 若不涉及物理根源的探讨，只就事论事而言， 反过来也就是说，出现上面这些奇怪特征纯粹是由于将被测体系与测量仪器分割开来所造成的。至于对空间非定域性的探讨，理论工作几乎全部遵循 Bell 不等式的思路 可以称作 Bell 非定域性这样一种很窄的角度。可以认为，目前尚处在一种完全不知道塌缩过程非定域性物理根源的状况，更不存在对空间非定域性的准确理解和定量量度。实验方面，Teleportation和 Swappin实验以及最近在相对论框架下的非定域性实验4，都是直接对空间非定域性展开研究的开端。上面只是就事论事地说量子测量。表面上看，非相对论量子力学的公理体系似乎是完备的，逻辑是自洽的。但从理论构造的经济思维来看，还是存在一个潜在的严重问题：一个系统的量子态有两种方式去变化：幺正演化 这是确定的；测量塌缩这是随机的。为什么量子理论的公理体系中会内禀地具有这种两重性？这是否说明量子力学的框架仍然是不完备的，起码是不完美不经济的？抑或如阐述波函数描述时所能联想的，这种两重性正来源于微观粒子的基本禀性 波粒二象的性质？练 习 题361.1 设体系处于态22。 Ylm 是球谐函数。c1Y11c2Y10 , c1c21利用测量公设考虑：当对此态进行角动量的测量时，i) 得到 Lz 可能值、相应概率，及平均值分别是多少？ii) 得到 L2 的可能值、相应概率分别是多少？iii) 得到 Lx 和 Ly 的可能值，以及平均值分别是多少？1.2 按测量公设中的正交投影算符概念，由自旋投影算符出发，往求：在Sz 为12 的本征态下，i) 沿方向测自旋，可能得到的数值是多少？ii) 测得自旋沿方向的概率是多少？iii) 测得自旋沿方向的概率又是多少？1.3思考题：若入射电子状态不知为下面两者中哪个1zzz ;x1zzz22问：如何用 Stern-Gerlach装置对它们作区分？1.4 考虑三个 Stern-Gerlach装置，顺序同轴串接放置的实验。设第一个与第二个的间距大于第二个与第三个的间距。第一个的非均匀磁场的方向沿 +Z 轴，第二个磁场方向沿 +X轴，第三个磁场方向又沿 +Z轴。入射粒子自旋为 1/2。问：i) 入射粒子细束沿 +Z方向极化，接受屏图像如何？ii) 若入射束是非极化的，最后接受屏图像又如何？iii) 在ii)中，若将第二个装置 +X方向的 S-G磁场逐渐关闭，最后接受屏上的图像又如何变化？（参见 13 p.37）1.5 设分束器上下两个入射光子极化状态更为一班般，即输入37态改为i1211a 122b 2i, 写出相应的输出态和同时到达时的对称化输出态。并将后者用 Bell基表示。ii, 分析：在现在这种实验装置里，当两个光子（基本上）同时到达时，在什么类型实验中它们可以分辩，在什么实验中它们不可以分辩。1.6 思考题 : Dirac 在其名著量子力学原理 （英文版 p.9）中说 :“Each photon then interferes only with itself. Interferencebetween two different photons never occurs.”。有人做出两个光子在一定条件下的确可以发生干涉的实验。但1997 年 8 月 4-7 日，在University of Maryland 曾举办过主题为“ Fundamental Problems in Quantum Theory的 Workshop”。其中有人评论已做出的实验， 说该实验是 “1+1is not 2”。并在引用 Dirac 这段话之后说： “Dirac was correct.”根据全同性原理， 应当怎样看待这个争论？1.7 分析 Stern-Gerlach装置计算后，导出无所不在的不确定性关系。1.8 对于单 qubit A的如下 POVM ：F2 nn,1,2,3,n1n2n303请用再添一个 qubit B成为大空间的办法，以张量积的方式来实现这个 POVM 。就是说，表明：i, 你在张量积大空间中所选的四个态是正交归一38的，可以看作是撑开相应某组力学量表象的一组基；ii, 设系统处于ABA0 B B 0 描述的态中。在中执行向这组正交归一基投影的正交测量，在上就实现了这个给定的 POVM 。1.9 证明：上题的 POVM 也能以直和的办法，在一个三能级系统上的正交测量中实现。提示：2 31 61 6u10 , u21 2, u31 2,1 31 31 31.10 给定如下一组正算符证明： i, 它们组成一个 POVM ； ii, 在引入另一个 qubit 之后，它怎样可以作为双 qubit的态空间中一个正交测量来实现。参考文献1 P.A.M. 狄拉克，量子力学原理，北京：科学出版社， 1965年。2 张永德，量子力学（修订本），北京：科学出版社，2005年。3 J.Preskill, Lecture Notes for Physics229: Quantum Information and Computation , CIT, Sept. 1998。4 Jian-wei Pan, Quantum Teleportation and Multi-photon Entanglement, the dissertation for PhD, Institute for Experimental39Physics, University of Vienna, 1998。5 L.De Caro,etal. 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