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结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 1 .奇偶性的定义 思考探究(1 )奇偶函数的定义域有何特点？(2 )是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0 . 2 .奇偶函数的性质(1 )奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”).(2 )在公共定义域内，两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是；两个偶函数的和函数、积函数是.一个奇函数，一个偶函数的积函数是.(3 )若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0 ).相反奇函数偶函数偶函数奇函数0相同 1 .设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(x)是奇函数B.f(x)|f(x)|是奇函数C.f(x)f(x)是偶函数D.f(x)f(x)是偶函数解析：令F(x)f(x)f(x).F(x)f(x)f(x)为偶函数，故D正确.答案：D 2 .对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A.y2 x3 B.y3 x2C.yln5 xD.y|x|cosx解析：若f(x)ln5 x，则f(x)ln5xln(5 x)1ln5 xf(x).函数yln5 x为奇函数.答案：C 3 .已知f(x)ax2bx是定义在a1 ,2 a上的偶函数，那么a b的值是()A.B.C.D.解析：函数f(x)ax2bx在x a1 ,2 a上为偶函数， b0，且a12 a0，即b0，a. ab.答案：B 4 .已知函数yf(x)为奇函数，若f(3 )f(2 )1，则f(2 )f(3 ).解析：由题意得f(2 )f(3 )f(2 )f(3 )f(3 )f(2 )1 .答案：1 5 .设函数f(x)为奇函数，则a.解析： f(x)为奇函数，由f(1 )f(1 )得a1 .答案：1 判断函数奇偶性的一般方法(1 )首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，既不是奇函数也不是偶函数.(2 )若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：定义判断：f(x)f(x) f(x)为偶函数，f(x)f(x) f(x)为奇函数. 等价形式判断：f(x)f(x)0 f(x)为偶函数，f(x)f(x)0 f(x)为奇函数.或等价于：，则f(x)为偶函数；1，则f(x)为奇函数.(3 )对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.特别警示分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断. 判断下列函数的奇偶性：思路点拨(1 )f(x)=x();(2 )f(x)=log2 (x+);(3 )f(x)=;(4 )f(x)=(5 )f(x)=x2 -|x-a|+2 . 课堂笔记(1 )函数定义域为(，0 ) (0，). f(x)是偶函数. f(-x)=-x()=f(x). (2 )函数定义域为R. f(x)是奇函数. f(-x)=log2 (-x+)=log2 =-log2 (x+)=-f(x), (3 )由得x，或x.函数f(x)的定义域为，.又对任意的x ，x ，且f(x)f(x)f(x)0， f(x)既是奇函数又是偶函数. (4 )函数定义域为(，0 ) (0，).当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对任意x (，0 ) (0，)都有f(x)f(x).故f(x)为奇函数. (5 )函数f(x)的定义域为R.当a0时，f(x)f(x)， f(x)是偶函数；当a0时，f(a)a22，f(a)a22 |a|2 .f(a)f(a)，且f(a)f(a)2 (a2|a|2 )2 (|a|)20， f(x)是非奇非偶函数. 判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1 )利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(x)，f(x)；(2 )巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3 )找出f(x)与f(x)的关系，得出结论. 已知函数f(x)对一切x、y R，都有f(xy)f(x)f(y).(1 )试判断f(x)的奇偶性；(2 )若f(3 )a，用a表示f(1 2 ).思路点拨 课堂笔记(1 )显然f(x)的定义域是R，关于原点对称.又函数f(x)对一切x、y R都有f(xy)f(x)f(y).令xy0，得f(0 )2 f(0 )， f(0 )0 .再令yx，得f(0 )f(x)f(x)， f(x)f(x)， f(x)为奇函数.(2 ) f(3 )a且f(x)为奇函数， f(3 )f(3 )a.又 f(xy)f(x)f(y)，x、y R， f(1 2 )f(66 )f(6 )f(6 )2 f(6 )2 f(33 )4 f(3 )4 a. (1 )对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f ”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2 )奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性. 函数f(x)的定义域为Dx|x R且x0 ，且满足对于任意x1，x2 D，有f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 ).(1 )求f(1 )的值；(2 )判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3 )如果f(4 )1，f(3 x1 )f(2 x6 )3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.思路点拨 课堂笔记(1 )对于任意x1，x2 D，有f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 )，令x1x21，得f(1 )2 f(1 )， f(1 )0 .(2 )令x1x21，有f(1 )f(1 )f(1 )， f(1 )f(1 )0 .令x11，x2x有f(x)f(1 )f(x)， f(x)f(x)， f(x)为偶函数. (3 )依题设有f(44 )=f(4 )+f(4 )=2 .f(1 64 )=f(1 6 )+f(4 )=3 , f(3 x+1 )+f(2 x-6 )3 ,即f(3 x+1 )(2 x-6 )f(6 4 ).（*） 法一： f(x)为偶函数， f(|(3 x1 )(2 x6 )|)f(6 4 ).又 f(x)在(0，)上是增函数， 0|(3 x1 )(2 x6 )|6 4 .解上式，得3x5或x或x3 . x的取值范围为x|x或x3或3x5 . 法二： f(x)在(0，)上是增函数， (*)等价于不等式组或或 3x5或x或x3 . x的取值范围为x|x或x3或3x5 . 将本例中的条件f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 )改为f(x1x2 )f(x1 )f(x2 )，定义域Dx|x0 改为DR，求解第(2 )，(3 )问. f(x)为奇函数.解：(2 )令x1x20，得f(0 )0；令x1x，x2x，得f(0 )f(x)f(x)，即f(x)f(x)， (3 ) f(4 )1， f(8 )f(4 )f(4 )2，f(1 2 )f(48 )f(4 )f(8 )3 .又 f(3 x1 )f(2 x6 )3， f(3 x12 x6 )f(1 2 )，即f(5 x5 )f(1 2 ).又 f(x)在(0，)上为增函数，f(x)为奇函数， f(x)在R上是增函数， 5 x5 1 2， x. 函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考对函数奇偶性的常规考法，0 9年山东、陕西等省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这是高考新的一个考查方向. 考题印证(2 0 0 9 山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4 )f(x)，且在区间0 ,2 上是增函数，则()A.f(2 5 )f(1 1 )f(8 0 )B.f(8 0 )f(1 1 )f(2 5 )C.f(1 1 )f(8 0 )f(2 5 )D.f(2 5 )f(8 0 )f(1 1 ) 【解析】 f(x4 )f(x)， T8 .又f(x)是奇函数， f(0 )0 . f(x)在0 ,2 上是增函数，且f(x)0， f(x)在2 ,0 上也是增函数，且f(x)0 .又x 2 ,4 时，f(x)f(x4 )0，且f(x)为减函数.同理f(x)在4 ,6 为减函数且f(x)0 .如图. f(2 5 )f(1 )0，f(1 1 )f(3 )0，f(8 0 )f(0 )0， f(2 5 )f(8 0 )f(1 1 ).【答案】D 自主体验(2 0 0 9 陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2 (，0 (x1 x2 )，有(x2x1 )(f(x2 )f(x1 )0 .则当n N*时，有()A.f(n)f(n1 )f(n1 )B.f(n1 )f(n)f(n1 )C.f(n1 )f(n)f(n1 )D.f(n1 )f(n1 )f(n) 解析：由(x2x1 )(f(x2 )f(x1 )0得f(x)在x (，0 为增函数.又f(x)为偶函数，所以f(x)在x (0，)为减函数.又f(n)f(n)且0 n1nn1， f(n1 )f(n)f(n1 )，即f(n1 )f(n)f(n1 ).答案：C 1 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.yx3，x RB.ysinx，x RC.yx，x RD.y()x，x R解析：yx3为奇函数且为减函数；ysinx为奇函数，但不是单调函数；yx为增函数；y()x不是奇函数.答案：A 2 .(2 0 1 0 泉州模拟)若x R、n N*，定义：x(x1 )(x 2 )(xn1 )，例如(5 )(4 )(3 )(2 )(1 )1 2 0，则函数f(x)的奇偶性为()A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 解析： x(x1 )(x2 )(xn1 )， (x9 )(x8 )(x7 )(x9 )(x29 2 )(x28 2 )(x21 2 )x. (x29 2 )(x28 2 )(x21 2 )x2， f(x)是偶函数.答案：B 3 .函数f(x)x3sinx1 (x R)，若f(a)2，则f(a)的值为()A.3 B.0C.1 D.2解析：f(a)a3sina1，f(a)(a)3sin(a)1a3sina1，得f(a)f(a)2， f(a)2f(a)220 .答案：B 4 .已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)()x，则f(1 )，g(0 )，g(1 )之间的大小关系是.解析： f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数，且f(x)g(x)()x， f(x)g(x)()x，即f(x)g(x)2 x， f(x)g(x)2 x，由得 答案：f(1 )g(0 )g(1 ) 5 .设定义在2 ,2 上的偶函数f(x)在区间0 ,2 上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是.解析： f(x)是偶函数， f(x)f(x)f(|x|).不等式f(1m)f(m) f(|1m|)f(|m|).又当x 0 ,2 时，f(x)是减函数.答案：解得 6 .已知函数f(x) (a、b、c N)是奇函数，又 f(1 )2，f(2 )3，求a、b、c的值.解： f(x)为奇函数 f(x)f(x)，即. c0，即f(x).又 f(1 )2，f(2 )3，即 4 a13 a3， a2 .又 a N， a0或a1 .当a0时，b，舍去.当a1时，b1， a1，b1，c0 .
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