双曲线的参数方程、抛物线的参数方程

二 、 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程2、双曲线的参数方程 b a o xy ) MBA B A OBB y 在 中 ，( , )M x y设 | | | | tanBB OB tan .b OAA x 在 中 ，| | | cosOAOA cosa sec ,a sec ( )tanx aM y b 所 以 的 轨 迹 方 程 是 为 参 数 2a2 22x y消 去 参 数 后 ， 得 - =1,b这 是 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。 双 曲 线 的 参 数 方 程 双 曲 线 的 参 数 方 程 b a o xy ) MBA B Asec ( )tanx ay b 为 参 数2 22 2- 1( 0, 0)x y a ba b 的 参 数 方 程 为 ：30,2 ) 2 2 通 常 规 定 且 ， 。 双 曲 线 的 参 数 方 程 可 以 由 方 程 与 三 角 恒 等 式 2 22 2 1x ya b 2 2sec 1 tan 相 比 较 而 得 到 ， 所 以 双 曲 线 的 参 数 方 程 的 实 质 是 三 角 代 换 .说明： 这 里 参 数 叫 做 双 曲 线 的 离 心 角 与 直 线 O M的 倾 斜 角 不 同 . 的 两 个 焦 点 坐 标 。、 求 双 曲 线 tan34 sec321 yx ( 2 15,0)练 习 ： 3sec2 ( ) _tanxy 、 双 曲 线 为 参 数 的 渐 近 线 方 程 为 13y x 2 22 21 : ( 2) 11 O x y Px y Q P Q 例 、 已 知 圆 上 一 点 与 双 曲 线上 一 点 ， 求 、 两 点 距 离 的 最 小 值 2 2 22 2 2min min (sec ,tan )sec (tan 2)tan 1 tan 4tan 4 2(tan 1) 35tan 1, , 34 43 1 QOQ OQPQ 解 ： 设 双 曲 线 上 点 的 坐 标 为先 求 圆 心 到 双 曲 线 上 点 的 最 小 距 离当 即 或 时 例 2. 如 图 , 设 M 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , O 为 原 点 , 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 , 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A , B 两 点 . 探 求 平 行 四 边 形 MAOB 的 面 积 , 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ? )0,(12222 babyax xaby 解 : 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 . 不 妨 设 M为 双 曲线 右 支 上 一 点 , 其 坐 标 为 , 则 直 线 MA的 方程 为 )tan,sec( ba )sec(tan axabby 将 代 入 上 式 , 解 得 点 A的横 坐 标 为 )tan(sec2 axA同 理 , 得 点 B的 横 坐 标 为 ).tan(sec2 axB xaby 设 , 则AOx ,tan ab所 以 , MAOB 的 面 积 为 2sincoscos2sin| BA xxOBOAS 2sincos4 )tan(sec 2 222 a .22tan2 22 ababaa 由 此 可 见 , 平 行 四 边 形 MAOB 的 面 积 恒 为 定 值 , 与 点 M 在 双 曲 线 上 的 位 置 无 关 . 2 2 2 2 2 22 23 0 04. ( , ) ,P b x a y a b a bP a bPR 例 设 是 双 曲 线 上 任 意 一 点过 点 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ,分 别 与 两 渐 近 线 相 交于 点 Q和 R,求 证 :PQ 3、抛物线的参数方程 xyo M(x,y) 2 22 .(5)tan .(6)2tan(5), (6) , ( )2tan(5) ( )y pxM yx pxx y py 设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为因 为 点 在 的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的定 义 可 得由 解 出 ， 得 到 为 参 数这 就 是 抛 物 线 不 包 括 顶 点 的 参 数 方 程 2 1 , ( ,0) (0, ),tan2 ( )20 (0,0) ( , )t tx pt ty ptt tt 如 果 令 则 有为 参 数当 时 ， 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线的 顶 点 因 此 当 时 ， 参 数 方 程 就 表示 抛 物 线 。 参 数 表 示 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意一 点 与 原 点 连 线 的 斜 率 的 倒 数 。 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 ( )2 , ,1 1x pt ty ptM M t tM MA t t B t t C Dt t t t 、 若 曲 线 为 参 数 上 异 于 原 点 的 不 同 两 点 ， 所 对 应 的 参 数 分 别 是 则 弦所 在 直 线 的 斜 率 是、 、 、 、( )c 22 ,2 ( 0),O A By px pOA OB OM AB AB MM 、 如 图 是 直 角 坐 标 原 点 ， 是 抛 物 线上 异 于 顶 点 的 两 动 点 ,且并 于 相 交 于 点 ， 求 点 的 轨 迹 方 程 。 xyo BA M 2 , ?A B AOB探 究 ：在 中 ， 点 在 什 么 位 置 时 ， 的 面 积最 小 ？ 最 小 值 是 多 少 20 03 2( 1,0)M y xM P M MP 、 设 为 抛 物 线 上 的 动 点 ， 给 定 点， 点 为 线 段 的 中 点 ， 求 点的 轨 迹 方 程 。 1 2 15565 2 15443,7782.5, 7721.5,7782.5cos ( )7721.5sina ba bxy 、 解 ： 因 为 ， 所 以所 求 的 椭 圆 的 参 数方 程 为 为 参 数 1 1 2 21 2 22 ( cos , sin ), ( ,0), ( ,0),cos cos,1 sin 1 sin p QB P B M B Q B MP Q P QM a b P x Q xP Q B M B M xK K K Ka ax xOP OQ x x a 、 证 明 ： 设 ， 因 为 、 分 别 为 与 轴 的 交 点 ， 所 以 由 斜 率 公 式 计 算 得 所 以 为 定 值 2 2 2 2 2 2 3 ( 0),sec ( )tan( sec , tan ) ,sec tan sec tan1 1 1 1 ( sec ) ( tan ) ( )2 2x y a ax ay aM a aM y x y xa a a aa a a 、 证 明 ： 设 等 轴 双 曲 线 的 普 通 方 程 为则 它 的 参 数 方 程 为为 参 数设 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 则点 到 两 渐 近 线 及 的 距 离 之 积 为 常 数 。平 分 线 段 所 以 抛 物 线 的 顶 点的 中 点 为 原 点因 为 的 坐 标 为所 以 的 方 程 为直 线 的 坐 标 为所 以 点 的 方 程 为直 线 的 坐 标 为则 点 的 坐 标 分 别 为、 证 明 ： 设 点 DEO DE tptE ptxttptyAC tptD ptxttptyAB ptptCptpt ptptBA ),0,0( )0,2( )2(12 )0,2( )2(12 )2,2(),2,2( )2,2(,4 21 21211 21 21211 222222 121 2 2 22 15 2 2 ( , )21 (2 , 2 )2OA y kx OB y xky kx p pAy px k ky x B pk pkky px 、 解 ： 直 线 的 方 程 为 ， 直 线 的 方 程 为 解 方 程 组 得 点 的 坐 标 是 解 方 程 组 得 点 的 坐 标 是 )( 222,222 ),(22 2222 为 参 数 的 轨 迹 的 参 数 方 程 是的 中 点所 以 ， 线 段 则的 坐 标 为设 点 kpkkpy pkkpx MAB pkkppkkpypkkppkkpx yxM 1226 36 2CC y xm . : ( )sin: ( ). ,1 2x=m+2cos已 知 椭 圆 为 参 数 及y= 3抛 物 线 若 C C求 的 取 值 范 围 .