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本 节 内 容 主讲：黄 亭 市 镇 中 学 ywm湘教版 七 年 级 下小 结 与 复 习 (一 ) 知 识结 构因 式 分 解 概 念方 法 提 公 因 式 法公 式 法与 整 式 乘 法 的 关 系 确 定 公 因 式公 因 式平 方 差 公 式完 全 平 方 公 式步 骤 提 ： 公 因 式套 ： 公 式 法查 ： 分 解 是 否 彻 底 小 结 1. 什 么 叫 多 项 式 的 因 式 分 解 ？ 因 式 分 解与 多 项 式 的 乘 法 有 什 么 关 系 ？2. 什 么 叫 公 因 式 ？ 怎 样 确 定 公 因 式 ？ 提 公 因 式 法 ？把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 积 的 形 式 叫 做 因 式 分解 ， 也 叫 分 解 因 式 。ma+mb+mc m(a+b+c)因 式 分 解整 式 乘 法一 个 多 项 式 中 每 一 项 都 含 有 的 相 同 的 因 式 ， 叫 做 这 个多 项 式 各 项 的 公 因 式 。公 因 式 确 定 系 数 ： 取 各 系 数 的 最 大 公 约 数 ；字 母 ： 取 各 项 相 同 的 字 母 ； 字 母 的 指 数 ： 取 最 低 指 数 。 注 意 几 个 式 子 的 变 形 规 律 ：x-y=-(y-x) -x-y=-(x+y) (x-y)2=(y-x)2 (x-y)3=-(y-x)3 如 果 一 个 多 项 式 的 各 项 含 有 公 因 式 ， 那 么 可 以 把 公因 式 提 取 出 来 进 行 因 式 分 解 ， 这 种 因 式 分 解 的 方 法 叫 做提 取 公 因 式 法 。一 般 步 骤（ 1） 确 定 应 提 取 的 公 因 式 ； （ 找 ）（ 2） 提 出 公 因 式 ， 注 意 另 一 个 因 式 如 何 确 定 ； （ 提 ）（ 3） 把 多 项 式 写 成 这 两 个 因 式 的 积 的 形 式 。 （ 写 ）3.写 出 公 式 法 分 解 因 式 时 所 用 的 公 式 .平 方 差 公 式 ： a-b=(a+b)(a-b)完 全 平 方 公 式 ： a 2ab+b=(a b)平 方 差 公 式 法 和 完 全 平 方 公 式 法 统 称 公 式 法注 意 ： 要符 合 公 式特 征 因 式 分 解 的 一 般 步 骤 ：一 提 ： 先 看 多 项 式 各 项 有 无 公 因 式 ， 如 有 公 因 式 则 要先 提 取 公 因 式 ；二 套 ： 再 看 有 几 项 ， 如 两 项 ， 则 考 虑 用 平 方 差 公 式 ；如 三 项 ， 则 考 虑 用 完 全 平 方 公 式 ；四 查 ： 最 后 用 整 式 乘 法 检 验 一 遍 ， 并 看 各 因 式 能 否 再分 解 ， 如 能 分 解 ， 应 分 解 到 不 能 再 分 解 为 止 。三 变 ： 若 以 上 两 步 都 不 行 ， 则 将 考 虑 将 多 项 式 变 形 ，使 之 能 “ 提 ” 或 能 “ 套 ” 。 如 (x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1） 注 意1. 运 用 整 式 乘 法 可 以 检 验 因 式 分 解 的 结 果 是 否 正 确.2. 提 公 因 式 时 ， 如 果 多 项 式 的 首 项 为 负 数 ， 一 般先 把 负 号 提 出 来 ， 并 把 括 号 内 的 各 项 变 号 .3. 因 式 分 解 一 定 要 进 行 到 每 一 个 因 式 都 不 能 再 分 解 为止 . 如 x4-1可 以 分 解 为 (x2+1)(x2-1)， 但 是 x2-1还 可 以分 解 为 (x+1)(x-1)， 于 是 x4-1 =(x2+1)(x+1)(x-1).因 式 分 解 的 应 用1， 运 用 因 式 分 解 进 行 多 项 式 除 法2， 若 A B=0， 则 A=0或 B=03, 运 用 因 式 分 解 解 简 单 的 方 程 否 否是(1) 3a2+6a=3a(a+2) (2) (2y+1)(2y-1)=4y2-1(3) 18a3bc=3a2b6ac (4) x+2x+1=x(x+2)+1 否1、 下 列 代 数 式 的 变 形 当 中 哪 些 是 因 式 分 解 ， 哪 些 不 是 ？2、 检 验 下 列 因 式 分 解 是 否 正 确 ？(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3)(3). x2-2x-3=(x-3)(x+1) (4). 36a2-12a-1= (6a-1)2 3、 填 空（ 1） .若 x2+mx-n能 分 解 成 (x-2)(x-5),则 m= ,n= 。-7 -10（ 2） x2-8x+m=(x-4)( ),且 m= 。 x-4 16（ 3） 因 式 分 解 a2-ab= 5 102004-102005= a(a-b) -5 102004 -a-ab； m-n； x+2xy+y (4) 3am-3an； (5) 3x+6xy+3xy (6) x-4x(x-y)+ 4(x-y) ；=-a(a+b) = (m+n)(m-n)=(x+y) =3a (m+n)(m-n)=3x(x+y)4、 将 下 列 各 式 分 解 因 式 ： (2y-x)2 1、 把 下 列 各 式 因 式 分 解 （ 1） -x3y3-2x2y2-xy (2) x2+xy+ y2.12 12（ 3） (x-y)2 - 6x +6y+9 (4) (x+1)(x+5)+4(7) (x4+x2-4)(x4+x2+3)+10(5) 3x+x2-y2-3y (6) x2-2x-4y2+1 (8) x2y2+xy-12 (4) 若 (a2 +b2)(a2 +b2-2)=-1,则 a2 +b2的 值 是 .(5) 若 4a2+b2+4a-6b+10=0,则 a3b-ab3的 值 是 .(3) 若 2x-y+5 +(x+2y-4)2=0, 则 (2x-y)3-(x-3y)(y-2x)2的 值 是 .(2) 若 2b-a=-3,ab=5,则 2a2b-4ab2的 值 是 .(1).若 9x2+mx+16是 完 全 平 方 式 ,则 m= .2、 因 式 分 解 的 应 用(6) 已 知 ： 2x-3=0， 求 代 数 式 x(x2-x)+x2(5-x)-9的 值解 下 列 方 程 ：(3x- 4) - (3x+ 4) =48 若 AB=0则 A=0或B=0 方 法 ： 左 边为 0， 右 边 进 行 因式 分 解 。 1、 将 下 列 各 式 分 解 因 式 ： 18ac-8bc (2) xy-4xy+42c(3a+2b) (3a-2b) (xy-2)2（ 3） (2a+b)(ab)3a (a+2b) (4) (x+y)-10(x+y)+25(x+y-5)(5) 4a3b(4a3b)(2a- 3 b) (2) 若 x 2+2(m-3)x+16是 完 全 平 方 式 ， 则 m= (6) 1-x2+2xy-y2(1+x-y)(1-x+y)（ 1） 若 x2+25与 一 个 单 项 式 的 和 是 一 个 完 全 平 方 式 , 则 这 个 单 项 式 可 以 是 .2、 解 答 下 列 各 题 10 x 7或 -1 （ 4） 若 (2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),求 n的 值 。（ 5） 先 分 解 因 式 ， 再 求 值 ： 4a2(x+7)- (x+7)， 其 中 a=-5,x=3（ 6） 已 知 x-y=1,xy=2， 求 x3y-2x2y2+xy3的 值 . 3、 计 算 (1)562+56 44 (2)9992 - 9982（ 3） 若 a=99,b=-1,则 a2-2ab+b2=_；4.解 方 程 ： (1) 7x+2x=0(2) 2x=(2x-5)10000 1.分 解 因 式 ： 3x(x-2)-(2-x)=_2.已 知 x2-ax+7 在 有 理 数 范 围 内 能 分 解 成 两 个 因 式 的积 ,则 正 整 数 a的 值 是 _.3.在 多 项 式 4x2+1 中 ， 添 加 一 个 单 项 式 ， 使 其 成 为 一个 完 全 平 方 式 。 则 添 加 的 单 项 式 _.4.若 x 2+2xy+y2-a(x+y)+25 是 完 全 平 方 式 ,则 a的 值 是 8 4x 10 a3-2a2+a= _ (x+y)2-4(x+y)+4=_ 2a3b-4a2b2+2ab3=_ a(a-1)2(x+y-2)2(x-2)(3x+1)2ab(a-b)2 1.下 列 多 项 式 能 分 解 因 式 的 是 ( ) A. x2-y B. x2+1 C. x2+y+y2 D. x2-4x+42. 下 列 多 项 式 中 ,能 用 提 取 公 因 式 分 解 因 式 的 是 ( ) A. x2-y B. x2+2x C. x2+y2 D. x2-xy+y23.下 列 各 式 由 左 边 到 右 边 的 变 形 中 ,是 分 解 因 式 的 是 ( ) A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10 x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x4.把 多 项 式 xy2-9x分 解 因 式 ,结 果 正 确 的 是 ( ) A. x(y 2-9) B.x(y+3)2 C. x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9) D BCC 5. (3a-y)(3a+y)是 下 列 哪 个 多 项 式 因 式 分 解 的 结 果 ( ) A. 9a2+y2 B. -9a2+y2 C. 9a2-y2 D. -9a2-y26.下 列 多 项 式 中 ,能 用 公 式 法 分 解 因 式 的 是 ( ) A.x2+4 B.x2-x + C.x2+2x+4 D.x2-4y7.请 你 从 下 列 各 式 中 ， 任 选 两 式 作 差 ， 并 将 得 到 的式 子 进 行 因 式 分 解 。 4a2, (x+y)2, 1, 9b2 14 CB这 是 一 道 开 放 题 ， 组 合 方 式 很 多 ，任 选 一 、 二 种 形 式 即 可
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