合情合理设计出真知

合情合理设计出真知对“多边形”概念教学认识晋江市金山中学 颜谋坛数学是讲“合乎情理”的学科，数学科以事实为根据，不浮夸、不矫情造作。那么对于数学概念教学“合情合理”的追求，就应该是数学课堂教学永恒的话题。以下将结合初中学段“多边形”概念教学中“情理交融”的认识，探讨数学概念教学的相关问题。一 关于概念的引入1从实际应用的需要引入数学概念，是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，对某个数学概念的认识，应建立在对一类事物共同属性认识的基础之上。教学“多边形”的概念教学也不例外。老师通过出示大街上、饭店等许多地方各种形状的地砖、瓷砖平整地贴合在一起的图片，并从中抽象出基本的几何图形，引导学生观察、思考它们的共同特点，使学生在这些典型、丰富且合乎实际的感性材料的基础上，获得对多边形属性的初步认识。这样，通过生活中熟悉的素材，设置符合“常情”的教学情境，不仅赋予了“多边形”概念的现实背景，也使学生感悟到学习“多边形”概念的必要性，明白了学习的“道理”。2从数学知识发展的需要引入学习一个新的数学概念，还应该把这个概念放到相应的概念体系中，考查它的“来龙去脉”，即分析学习这一概念需要怎样的基础，知道掌握它以后可以做什么。关于多边形，学生在小学已经接触过三角形、四边形，但对多边形的概念基本没有涉足。初中学段，必须是在三角形或四边形的类比的基础上来研究多边形。初中老师一般都会告诉同学三角形是最简单的多边形，因为三角形就是一种特殊多边形，根据特殊到一般思想方法，我们可以借鉴三角形定义对多边形进行下定义。因此教学中，教师要抓住三角形（特殊多边形）的概念“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”类比引导学生思考n边形定义，就可以使学生自然地建立起对新概念（多边形）的本质属性理解。另外，学习了“多边形”的概念之后，再附加条件“边数为4”、“边数为5”“边数为100” 分别叫四边形、五边形一百边形；若再满足“每条边都相等，每个内角也相等”，就分别叫正四边形（正方形）、正五边形正一百边形。可见，从数学知识面发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的内在联系，形成明晰的知识结构，并清晰地认识到学习“多边形”概念的“合理性”。二、关于概念的形成1概念的明确 所谓明确概念，实质就是让学生理解一类事物的共同本质属性，如何利用学生认知结构中已有的概念，以定义的方式直接揭示概念的本质特征。（1）明确概念的内涵 概念的内涵就是明确概念中的对象的本质属性，它说明概念所反映的事物是什么样的。“多边形（n边形）”的含义是“由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次相接所组成的图形”，这就是“多边形”的内涵。它揭示了“多边形”与“三角形”的“一般与特殊”的关系，以及它们的区别与联系，反映了“多边形”的本质属性。其中关键词“n条线段首尾顺次相接”即可作为多边形的判定方法，又可以作为多边形的一个性质。（2）明确概念的外延 概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象，它说明概念所反映的是哪些事物。“多边形”是指三角形、四边形、五边形的全体，这就是“多边形”的外延。它反映的是概念的量的方面，是概念的使用范围。 教学中，给“多边形”下定义之后，教师不仅要指出符合“多边形”定义的对象，而且也要让学生自己举比例子来。这样，从概念的引入（具体）到明确概念（一般），再到举出实例（具体），形成了一个完整的概念认知的过程。符合学生的认知需要，又体现了概念的形成特点，从而做到“合情合理”。 2概念的表示 在描述数学概念时，除了上述使用文字语言的方式外，还可以用符号语言和图形语言。（1）用符号表示概念数学符号是数学专有的特殊文字，其含义的高度概括和形式的高度浓缩，体现了数学简明性的特点。在概念教学中，真正让学生掌握概念符号的意义尤为重要。用符号语言描述多边形（n边形）定义为：n边形A1A2A3A4An，又如：四边形ABCD，五边形ABCDE等，每个大写字母表示一个顶点。（2）用图形表示概念 如图1，画出“n条线段”的n边形，即n边形A1A2A3A4An。一般地，为了便于研究，我们经常以四边形或五边形为例，再应用归纳法推导出n边形的相同结论。结合图形可以使学生对“多边形”概念有一个更加直观、清晰的认识。 图1 通常情况下，学习几何概念，往往把图形语言联系在一起。需要注意，尽量排除标准图形的负迁移作用，防止出现符号与概念意义的脱节，避免把个性特征作为概念的本质特征。四边形有四个顶点、四个内角、内角和（4-2）180，五边形有五个顶点、五个内角、内角和（5-2）180，同样n边形也具有本质特征“n边形有五个顶点、五个内角、内角和（n-2）180。符号语言的简明性与图形语言直观性，合乎学生对“多边形”概念的理解和记忆，符合“人之常情”，教师再适时地提醒“回到定义去”，让学生牢记其中的“道理”，即“n条线段首尾顺次相接”，可以很好地实现“情理交融”。3概念的深化几何概念，无外乎从位置关系和数量关系两个角度进行刻画。“多边形”定义中的“n条线段首尾顺次相接”，是从“位置关系”出发，刻画“线段”的本质。如果从“数量关系”的角度，再来研究“多边形”的某些几何要素“边”“角”，自然可以得到进一步的结论，这是对“多边形”概念的深化。在研究多边形“边”或“角”的数量关系时，教师不妨通过引导学生从多边形的“位置关系”出发，从“三条线段首尾顺次相接”、“四条线段首尾顺次相接”、“五条线段首尾顺次相接”至“n条线段首尾顺次相接”，经历观察、猜想、实验、概括直至论证的过程。一方面突出合情合理在解决问题中的作用，诠释“实验几何”与“论证几何”相辅相成的关系；另一方面，可使学生对多边形的概念理解得更深入，即“n边形内角和等于（n-2）180”，相对于定义中的“n条线段首尾顺次相接”，由是由位置关系向数量关系的一种延伸，“n边形内角和等于（n-2）180”相对于“n条线段首尾顺次相接”，是从“从n边形一个顶点出发连结对角线可把它分成（n-2）个三角形”产生一种思维深化。三、关于概念的应用 为了更好地理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念，去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用与理解同步的过程，概念的应用可以在知觉水平上进行，也可以在思维水平上进行。1在知觉水平上的应用 在知觉水平上的应用，就是要引导学生用概念去判断面临的某一事物是否属于概念反映的具体对象。例如：如图2是不是五边形？其内角和与线段数有什么关系？ 图2 此题首先要求学生判断一个的图形是否为五边形（多边形），由于这个图形满足“五条线段首尾顺次相接”，属于“五边形“（多边形）的概念，因此学生只要可以正确完成这样的判断，我们就认为他从知觉上理解了“多边形”的概念。另外，此题还要求判断“其内角和与线段数有什么关系”，由于我们已经得到了“n边形内角和等于（n-2）180”的结论，学生已不需要再重复一系列的认识过程，可以直接从知觉上应用的另一种情形。2在思维水平上的应用 在思维水平上的应用，就是需要将“多边形”的概念，纳入到原有的概念或例题中，或者在复杂的问题时，与原有概念或命题中或者在解决复杂的问题时，与原有的概念或命题重新组合。 例如图3，以多边形的每个顶点为圆心，1为半径的画圆，则图中阴影部分的面积等于多少？ 此题要求阴影部分面积，由图2可观察到扇形的圆心角是多边形内角，而多边形有六条边是六边形，这就需要用到多边形内角和与边数关系，得六边形内角和是（6-2）180=720，所以各阴影部分的扇形面积之和恰为一个以半径为1的整圆面积的2倍。 图3上述分析过程中，我们看到，此题主要综合了“多边形内角和与边数关系”的性质“n边形内角和等于（n-2）180”以及圆面积公式，将“多边形”概念应用其中，将“整圆周角360”与“六边形内角和720”（多边形内角和与边数关系求得）重新组合、整理，使学生在寻求解题方案的同时，获得新旧知识之间的联系，对“多边形”概念达到灵活应用的水平。课堂教学应该追求一种“合情合理”的境界。当我们看到每一个教学环节都那样的顺畅、每一个问题都是那么自然、每一名学生都是那样心领神会，细细口味，一切都在情理之中。