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2012 届高考（文科）数学一轮复习课时作业45 抛物线一、选择题1(2010 年四川高考 ) 抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8解析： y2 8x 的焦点到准线的距离为p 4，选 C.答案： C2 2011 辽宁卷 已知F是抛物线y2x的焦点，是该抛物线上的两点， | A BAF| BF| 3，则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 ()357A. 4B 1C.4D.4如图，过A， B 分别作准线 l的垂线 AD，BC，垂足分别为D， C， M是线段 AB的中点，垂直准线l于，由于是梯形的中位线，所以 | | AD| | BC|.MNNMNABCDMN2解析： 由抛物线的定义知 | AD|3l的BC| | AF| | BF| 3，所以 | MN| ，又由于准线21315方程为 x 4，所以线段 AB中点到 y 轴的距离为 2 4 4，故选 C.答案： C3(2010 年辽宁高考 ) 设抛物线y2 8 的焦点为，准线为， 为抛物线上一点，xFl PPAlA 为垂足如果直线 AF的斜率为3，那么 | PF| ()A43B8C83D16解析： 如图，由直线AF的斜率为3，得60，30，60. 又由抛物线的AFHFAHPAF定义知 | PA| | PF|， PAF为等边三角形，由| HF| 4 得 | AF| 8， | PF| 8.答案： B4(2010年山东高考 ) 已知抛物线 y2 2px( p0) ，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、 B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()用心爱心专心- 1 -Ax 1Bx 1Cx 2Dx 2解析： 抛物线的焦点(p1 的直线方程为ypxy， 0) ，所以过焦点且斜率为 ，即F2x2p2p222y y2 2，将其代入 y 2px 2p( y 2) 2py p ，所以 y 2py p 0，所以12 p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x 1，故选 B.答案： B5过点 (0,1)作直线，使它与抛物线y2 4 仅有一个公共点，这样的直线有()xA1 条B2 条C3 条D4 条解析： 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线 x 0，过点 (0,1)且平行于 x轴的直线以及过点 (0,1)且与抛物线相切的直线( 非直线 x 0) ，选 C.答案： C62011 山东卷 设(0，0) 为抛物线：2 8上一点，F为抛物线C的焦点，以FM xyC xy为圆心、 | FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0 的取值范围是 ()A(0,2)B 0,2C(2 ， )D 2 ，)解析： 根据 x28y，所以 F(0,2)，准线 y 2，所以 F 到准线的距离为4，当以 F 为圆心、以 | FM| 为半径的圆与准线相切时，| MF| 4，即 M到准线的距离为 4，此时 y 2，所以0显然当以 F 为圆心，以 |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交时， y0(2 ， ) 答案： C二、填空题7(2010 年重庆高考 ) 已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于、 两点，|A BAF 2，则 | BF| _.解析： 设点 A， B 的横坐标分别是x1， x2，则依题意有焦点F(1,0) ， | AF| x1 1 2， x1 1，直线 AF的方程是 x1，此时弦 AB为抛物线的通径，故 | BF| | AB| 2.答案： 28(2010 年浙江高考 ) 设抛物线y22px( p0) 的焦点为F，点 A(0,2) 若线段FA的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 _解析： 由题得抛物线的焦点p， 0) ，线段FA的中点 B 的坐标为 (pF 的坐标为 (，1) 代入抛24p2物线方程得1 2p 4，解得 p2，故点 B 的坐标为 ( 4， 1) ，故点 B 到该抛物线准线的距2232离为 4 2 4 .32答案：4用心爱心专心- 2 -9(2010 年湖南高考 ) 过抛物线 x2 2py( p0) 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B 两点， A， B 在 x 轴上的正射影分别为D， C. 若梯形 ABCD的面积为12 2，则 p _.解析： 依题意，抛物线的焦点F 的坐标为 (0 ， ) ，设 A( x ， y) ，B( x ， y ) ，直线 AB的方p11222p2p2程为 y 2 x，代入抛物线方程得，y3py 4 0，故 y y 3p， | AB| | AF| | BF| y112 y2 p4p，直角梯形 ABCD有一个内角为 45.2211故 | CD| 2 | AB| 2 4p 22p，梯形面积为2(| BC| | AD|)|CD| 23p22p32 p2122，解得 p 2.答案： 2三、解答题10已知抛物线y2 2px( p0) 有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y 2x，求抛物线的方程解：因为一直角边的方程是y2x，1所以另一直角边的方程是y 2x.y 2xpx 0x( 舍去 ) ，由，解得2，或y 0y2 2pxy p由 y 21x，解得 x 8p，或 x 0( 舍去 ) ，y2 2pxy 4py 0三角形的另两个顶点为(p， ) 和 (8p， 4) 2ppp222 8p p4p213.解得 4，故所求抛物线的方程为2 8 .p 5y5x11 2011 江西卷 已知过抛物线 y2 2px( p0) 的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A( x1， y1) ，B( x2， y2)( x1x2) 两点，且 | AB| 9.(1) 求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求 的值pOC OAOB解：(1)直线AB的方程是y22x，与y22px联立，从而有4x25px p0，所225p以： x1 x2 .4由抛物线定义得：| | x12 9，ABxp用心爱心专心- 3 -所以 p 4，从而抛物线方程是 y2 8x.(2) 由 p 4,4 x2 5px p2 0 可简化为 x2 5x 4 0，从而 x1 1，x2 4，y1 22，y2 42，从而 A(1 ， 22) ，B(4,42) 33(1 ， 22) (4,42) (4 1， 42 22) ，设OC ( x ， y )222又 y3 8x3，即 2 2(2 1) 8(4 1) ，即 (2 1) 4 1，解得 0 或 2.12已知抛物线方程x2 4，过点 (， 4) 作抛物线的两条切线、 ，切点分别为、yP tPA PBAB.(1) 求证：直线 AB过定点 (0,4) ；(2) 求 OAB(O为坐标原点 ) 面积的最小值解：证明： (1) 设切点为 A( x1， y1) 、 B( x2， y2) 1又 y 2x，则切线的方程为y11 1(x 1) ，即y11x1，PAy2xx2xy11切线 PB的方程为 yy2 2x2( x x2) ，即 y 2x2 x y2，由点 P( t ， 4) 是切线 PA， PB的交点可知：114 2x1t y1， 4 2x2t y2，11过 A、 B 两点的直线方程为4 2tx y，即 2tx y 40.直线：14 0过定点 (0,4) AB 2txy1(2) 由2tx y 4 0得 x2 2tx 16 0.x2 4y则 x1x2 2t ， x1x2 16.1SOAB 24|x1 x2|2x1 x22 4x1x2 2 4t 26416.当且仅当 t 0 时， OAB的面积取得最小值16.用心爱心专心- 4 -
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