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第 三 章 不 等 式3.3.1 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 与 平 面 区 域 一 家 银 行 的 信 贷 部 计 划 年 初 投 入 25 000 000元 用 于 企 业 和 个 人贷 款 ,希 望 这 笔 资 金 至 少 可 带 来 30000元 的 收 益 ,其 中 从 企 业 贷 款 中 获益 12%,从 个 人 贷 款 中 获 益 10%.那 么 ,信 贷 部 应 刻 如 何 分 配 资 金 呢 ？ 问 题 ： 这 个 问 题 中 存 在 一 些 不 等 关 系 应 该 用 什么 不 等 式 模 型 来 刻 画 呢 ？ 设 用 于 企 业 贷 款 的 资 金 为 x元 ， 用 于 个 人 贷 款 的 资 金 y元 。 则25000000(12%) (10%) 300000, 0 x y x yx y 所 以 得 到 分 配 资 金 应 该 满 足 的 条 件 ：2500000012 10 3000000 00 x yx yxy 1、 二 元 一 次 不 等 式 和 二 元 一 次 不 等 式 组 的 定 义 （ 1） 二 元 一 次 不 等 式 ： 含 有 两 个 未 知 数 ， 并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1的 不 等 式 ； （ 2） 二 元 一 次 不 等 式 组 ： 由 几 个 二 元 一 次 不 等 式 组 成 的 不 等 式 组 ； （ 3） 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 ： 满 足 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 有 序 实 数 对 （ x， y） 构 成 的 集 合 ；（ 4） 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 可 以 看 成 是 直 角 坐 标 系 内 的 点 构成 的 集 合 。 2、 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 表 示 的 图 形 （ 1） 复 习 回 顾 一 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 所 表 示 的 图 形数 轴 上 的 区 间 。 如 ： 不 等 式 组 3 04 0 xx 的 解 集 为 数 轴 上 的 一 个 区 间 （ 如 图 ） 。 思 考 ： 在 直 角 坐 标 系 内 ， 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集表 示 什 么 图 形 ？ -3x4 3 0 4 x x y 6 的 解 集 所 表 示 的 图 形 。 作 出 x y = 6的 图 像 一 条 直 线O xy x y = 6左 上 方 区 域 右 下 方 区 域直 线 把 平 面 内 所 有 点 分 成 三 类 :a)在 直 线 x y = 6上 的 点 b)在 直 线 x y = 6左 上 方 区域 内 的 点 c)在 直 线 x y = 6右 下 方区 域 内 的 点-6 6 下面研究一个具体的二元一次不等式 O xy x y = 6验 证 ： 设 点 P（ x， y 1） 是 直 线 x y = 6上 的 点 ， 选 取 点 A（ x， y 2） ，使 它 的 坐 标 满 足 不 等 式 x y 6，请 完 成 下 面 的 表 格 ， 横 坐 标 x 3 2 1 0 1 2 3点 P 的 纵 坐 标 y1点 A 的 纵 坐 标 y2 - 9 - 8 - 6- 7 - 5 - 4 - 3- 8 - 6 - 3- 5 6 4 0 思 考 ：(1) 当 点 A与 点 P有 相 同 的 横 坐 标 时 ， 它 们的 纵 坐 标 有 什 么 关 系 ？(2) 直 线 x y = 6左 上 方 的 坐 标 与 不 等 式 x y y1结 论 ：在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 二 元 一 次 不 等 式 x y 6的 解 为 坐 标 的 点 都 在 直 线x y = 6的 左 上 方 ；反 过 来 ， 直 线 x y = 6左 上 方 的 点 的 坐 标 都 满 足 不 等 式 x y 6。 不 等 式 x y 6表 示 直 线 x y = 6右 下 方 的 平 面 区 域 ； 直 线 叫 做 这 两 个 区 域 的 边 界 。 注 意 ： 把 直 线画 成 虚 线 以 表 示 区域 不 包 括 边 界 一 般 地 ： 二 元 一 次 不 等 式 Ax + By + C 0在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线 Ax + By + C = 0某一 侧 所 有 点 组 成 的 平 面 区 域 。 （ 虚 线 表 示 区 域 不 包 括 边 界 直 线 ） 注 1： 二 元 一 次 不 等 式 表 示 相 应 直 线 的 某 一 侧 区 域 O xy Ax + By + C = 0 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 与 平 面 区 域 方 法 :直 线 Ax+By+C=0同 一 侧 的 所 有 点 (x,y)代 入 Ax+By+C所 得 实 数的 符 号 都 相 同 ， 只 需 在 直 线 的 某 一 侧 任 取 一 点 (x0,y0),根 据 Ax+By+C的正 负 即 可 判 断 Ax+By+C0表 示 直 线 的 哪 一 侧 区 域 ， C 0时 ， 常 把 原 点作 为 特 殊 点 。注 2： 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 。 提 出 ： 采 用 “ 选 点 法 ” 来 确 定 二 元 一 次 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域强 调 ： 若 直 线 不 过 原 点 ， 通 常 选 （ 0， 0） 点 ; 若 直 线 过 原 点 ， 通 常 选 （ 1， 0） 、 （ -1， 0） 、 （ 0， 1） 、 (0,-1) 等 特 殊 点 代 入 检 验 并 判 断 。 例 1、 画 出 不 等 式 x + 4y 4表 示 的 平 面 区 域 。 x+4y 4=0 xy解 ： (1)直 线 定 界 :先 画 直 线 x + 4y 4 = 0（ 画 成 虚 线 ）(2)特 殊 点 定 域 :取 原 点 （ 0， 0） ， 代 入 x + 4y - 4，因 为 0 + 4 0 4 = -4 0所 以 ， 原 点 在 x + 4y 4 0表 示 的 平 面 区 域 内 ，不 等 式 x + 4y 4 0表 示 的 区 域 如 图 所 示 。 1 4 变 式 1、 画 出 下 列 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 :（ 1） x y 1 0 （ 2） 2 5 100 O XY 52（ 2）1O XY-1（ 1） 画 出 直 线 2 5 10=0,取 (0,0)点 代 入 不 等 式 ,得 :2 0 5 0 10 10 0画 出 直 线 x y 1=0,取 (0,0)点 代入 不 等 式 ,得 0 0 1 1 0 x y 1=0 2 5 10=0 0 xy 3x+y-12=0 x-2y=0 y -3x+12 x0不 等 式 化 为 x+2y 4 0,取 (0.0)代 入 x+2y 4,得 0+0 4= 404-2 例 3、 写 出 右 图 中 能 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 二 元 一 次 不 等 式 组 是 _ 不 等 式 2yx， 即 x 2y0表 示 直 线 x 2y 0上 及 其 左 上 方 点 的 集 合 ；不 等 式 3x 2y 60表 示 直 线 3x 2y 6 0上 及 其 右 上 方 点 的 集 合 ；不 等 式 3y x 9， 即 x 3y 9 0表 示 直 线 x 3y 9 0右 下 方 点的 集 合 综 上 可 得 ， 不 等 式 组 表 示 的 平 面区 域 是 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 . 解 ： 不 等 式 x 3表 示 直 线 x 3左 侧 点 的 集 合 ; 平 面 区 域 的 面 积 问 题 （ 1） 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 ： 直 线 某 一 侧 所 有 点 组 成 的 平 面 区 域 。 （ 2） 判 定 方 法 ： 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 。 （ 3） 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 平 面 区 域 ： 各 个 不 等 式 所 表 示 平 面 区 域 的 公 共 部 分 。（ 4） 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 平 面 区 域 ： 各 个 不 等 式 所 表 示 平 面 区 域 的 公 共 部 分 。
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