新课标下 , 初中数学的“证明”教学

新课标下 , 初中数学的“证明”教学1 问题的提出初中“证明”教学 , 主要是几何“证明”的教学 , 它既是教学的重点, 也是教学的难点。我们常说的几何证明 , 一般与欧氏几何证明等同看待, 它的本质主要是: 一是给出了证明的出发点 , 即公理上、 公设和定义; 二是给出了证明的方法 , 即演绎法或三段论。 学生学习欧氏几何, 经历几何这种论证方法的训练 , 能让学生的思维得到训练, 不仅表现在言之有理, 持之有据 , 办事有条理等, 也能提高学生提出问题 , 分析问题 , 解决问题的能力。 而在实际的教学中 , “几何难 , 教师难教 , 学生难学。 ”虽然新课标和新教材中 , 对“证明” 的内容都作了较大的调整, 淡化了证明的技巧和形式化的内容, 降低了“圆”的要求, 但新课标和教材中 , 新增了 :学习平移、旋转、对称的基本性质, 学习运用坐标确定物体位置的方法以及发展空间观念、 “合情说理”等内容。虽然证明中要求推理的过程不能过繁 , 一切从简 , 但证明的过程仍然要求做到事实准确 , 道理严密 , 过程完整。为了更好地落实新课标 , 把握好新教材 , 培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力 , 让学生在证明中, 做到有理有据, 过程完整 , 笔者针对新标中证明的要求, 对证明的教学策略作了初步探索。2 新课标中关于“证明”的解读对“数学思考”的要求: “经历观 , 课标的总体目标中 (1)察、实验、猜想、证明等数学活动过程, 发展合情推理能力和初 步的演绎推理能力 , 能有条理地、清晰地阐述自己的观点。 ”(2) 在学段目标的“数学思考”中这样阐述: “在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中 , 初步建立空间观念, 发展几何直觉。 ” “ 体会证明的必要性 ,发展初步的演绎推理能力。 ”并在学段目标的“情感与态度”目标中表述为 : “感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的正确性。 ”(3) 在内容标准中 , 对推理与证明要求 : “在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中 , 发展合情推理, 进一步学习有条理地思考和表达; 在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上 , 从几个基本的事实出发 , 证明一些有关三角形、 四边形的基本性质, 从而体会证明的必要性, 理解证明的基本过程, 掌握用综合法证明的格式 , 初步感受公理化思想。 ”规定 : 教学中 ,应注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程; 应注重对证明本身的理解 , 而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在标准所规定的范围内。(4) 在课程实施建议中 , 有“证明的必要性、 基本过程和基本方法”的建议: “证明”的教学所关注的是 , 对证明必要性的理解,对证明的基本方法和证明过程的体验。(5) 证明的教学策略证明的梯度训练教学策略, 华师版几何教材中 3.1华师版的初中数学教材中 , 七年级的几何以说理为主, 并在此基础上 , 初步学习几何的规范证明 , 所以证明多以填某个推理的步骤或填写理由的形式出现, 让学生领会证明的方式和推理的过程 , 然后逐步过渡到严格的证明。 所以 , 在七年级的几何证明教学中 , 让学生学会用所学的公理、定理、性质和判定等作为依据,能大胆地说出结论和理由 , 尽可能在教学中 , 让学生探究、 合作交流 , 能从已知大胆地进行合情推理或演绎推理叙述, 最后推出结论 , 教师仅作必要的补充。 这个过程中 , 是以 “结论为什么 ?”的程序进行。 并在掌握了一定的几何语言以及进行了一定的填某步推理和填写理由的几何证明训练后 , 指导学生根据叙述的推理过程 , 用几何语言写出推理的过程, 这就是要写的证明过程。 在八、九年级的几何证明中 , 不再出现以填写某步推理和填写理由的形式的证明题, 但在证明的教学过程中, 应坚持先说过程, 再写推理的证明过程, 对解决几何证明的书写难问题十分重要。另外 , 华师版的七年级几何教材中 , 安插了不少的“想一想” 、“读一读”、 “做一做”、 “量一量” 、 “摆一摆” 、 “画一画” 、 “折一折” 、 “填一填” 等内容 , 这些内容 , 不仅可以培养学生动手和动脑的习惯 , 也有利于扩大学生的知识面, 让学生动手动脑的基础上进行交流探究, 既可增加学生的几何学习兴趣, 又可以帮助师生解决几何难教学问题。这种“几何体验教学”内 对培养几何推理和证明也有较大的帮助。 , 容在证明的教学中 , 课标在最后一部分中 , 有证明的过程和方法的教学建议, 教师务必广泛采纳。 首先 , 应通过生活中的例子使学生认识到 , 有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可如线段 , 射线和直线的教学学 , 平行线的定义教学学等。 但有些命题仅仅通过观察和实验是不够的 , 从而使学生体会证明的必要性其次 , 应该使学生理解证明的基本要求 , 有条理地阐述自己的想法 , 知道推理必须有依据, 证明过程的表述必须条理清楚 , 并在证明过程中 , 逐步达到这个要求。 这个教学过程中 , 要坚持按学生的思维特点 , “以学定教” , 而不是“以教定学” 。在九年级证明教学中 , 教材还介绍了反证法。反证法也是一种重要的证明方法,教学中可以通过生活实例和简单的数学例子, 使学生体会反证法的思想。但不必给出反证法的证明格式。证明教学中 , 尽可能引导学生从问题出发 , 根据观察、 实验的结果, 运用归纳、 类比的方法首先得出猜想, 然后再进行证明 , 这十分有利于学生对证明的全面理解 ; 使用较规范的数学语言表述论证的过程, 利于学有生清晰而有条理地表达自己的观点和理解他人的思想 ; 组织学生探索证明的不同思路, 并进行适当的比较和讨论, 这有利于开阔学生的视野 ; 提供一些具有实际背地景的命题, 增加论证的趣味性 ,有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心。3.2 几何证明的教学策略: 课标建议 , 在命题教学中命题的证明的步骤和教学方法。 (1)应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题 ; 能够区分一个简单的命题的真伪 , 能够用反例来判定一个命题是假命题; 对几何中的一些基本命题 , 应该要求学生能够画出相应的图形, 并逐步学会用符号来表示命题。分清命题的“题设”和“结论”:首先要培养学生会正确划分命题的“题设”和“结论” 。每一个命题都是由题设和结论两部分组成的 , 要求学生从命题的结构特征进行划分, 掌握重要的相关联词句。例：“如果，那么。“若，则”等等。 用“如果” 或“若” 开始的部分就是题设。 用“那么” 或“则”开始的部分就是结论。 有不少的命题的题设和结论是比较明显的。对题设和结论不十分明显的命题 , 则可要求学生将它改写成“如果,那么”的形式,再找题设和结论就容易多了。另外,让学生领会命题的本质特征, 在一个命题中被判断的“对象”是命题的“题设” , 也就是“已知” 。判断出来的“结果”就是命题的“结论” , 也就是“求证” 。总之 , 正确划分命题的“题设”和“结论” , 就是要分清什么是命题中被判断的“对象” , 什么是命题中被判断出来的“结果” 。画图 , 写“已知” 和“证明” : 首先根据命题题意画几何图形 ,并标上字母。再结合图形, 用几何语言 , 把命题中的“题设”写成“已知” , “结论”写成“求证” 。写证明过程: 通过分析 , 理清推理思路和过程后 , 写出规范的证明过程。 (2) 证明的分析方法, 及证明过程的书写教学。顺推法及其证明的书写 : 顺推法是由条件到结论, 也就是从“已知”推出“结论”的定向思维方法。在探究推理的过程中 ,从已知条件, 逐步推到求证结论的思维过程。这种过程直接写出来就是证明过程。这种方法在较多的简单题目中比较适用, 多采用三段式的演绎推理。其分析过程和推理过程的思维一致, 用几何语言写出的推理过程就是规范的证明过程。倒推法及其证明的书写 : 倒推法也叫逆推法。是从结论到条件的思维方法。也就是从求证的目标着手进行分析推理, 并推究由什么条件可获得这样的结果, 然后再把这些条件作结果, 继续推究由什么条件, 可以获得这样的结果, 直至推究到要的条件与已知相符为止。 这种方法中 , 我采用的教学模式为 : “得结论有什么还缺什么先找什么” , 以此类推 , 直至推到全部为已知为止。这种方法, 从八年级的“全等三角形”的教学开始 , 特别是两次全等的证明 , 更加适用。书写证明时, 则要反过来, “缺少的 ,也就是先找的”要先证, 以此类推。倒推顺推法及其证明的书写 : 倒推顺推法是先从倒推入手 , 把目标探究到一定程度后 , 再回到已知条件顺推, 当两个方向汇合了 , 已知和求证的联系就清楚了 , 这种方法是前两种方法的综合。在证明的书写上 , 也是两种的综合。仍然坚持“缺少的 , 也就是先找的”要先证、先写。要注意培养学生添辅助 , 在几何证明的教学过程中 , 此外 (3)线的能力 , 培养学生的创新思维能力和解决几何问题的机智能力。要使学生认识到 : 在几何证明题中 , 适当地添加辅助线, 可使学生将较难的证明题转为较易证明题 , 教师在教学中 , 可将一些常见的添加辅助线的方法和规律在教学中归纳和呈现, 如梯形的常见辅助线作法: 作高、平移对角线、平移一腰、延长两腰相交, 或涉及一腰 （ 或两腰 ） 的中点时作中位线; 又如 , 凡涉及圆的直径时 , 常构成直径所对的圆周角 , 涉及圆的切线时, 常连接切点和圆心等。在书写证明过程中 , 要先将辅助线的做法写出来。