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四 边 形 -2第 19 章 一 .知 识 结 构 一 、 矩 形 的 性 质1.四 个 角 都 是 直 角二 、 矩 形 的 判 定1.有 一 个 直 角 的 平 行 四 边 形2.对 角 线 相 等3.S=ab3.有 三 个 直 角 的 四 边 形2.对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 三 、 菱 形 的 性 质1.四 个 边 相 等四 、 菱 形 的 判 定1.有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 2.对 角 线 互 相 垂 直 ,每 条 对 角 线 平 分一 组 对 角 。 2 .3 BDACS ABCD 菱 形3.四 边 相 等 的 四 边 形2.对 角 线 垂 直 的 平 行 四 边 形 五 、 正 方 形 的 性 质1.四 边 相 等 ,四 个 角 都 是 直 角六 、 正 方 形 的 判 定1.先 证 它 是 矩 形 ,再 证 它 还 是 菱 形 2.对 角 线 相 等 、 垂 直 、 平 分 ,每 条 对角 线 平 分 一 组 对 角 。3.对 角 线 相 等 +垂 直 +平 分2.先 证 它 是 菱 形 ,再 证 它 还 是 矩 形 七 、 对 称 性 它 们 都 既 是 中 心 对 称 图 形 ,又 是轴 对 称 图 形 .对 称 轴 如 下 :八 、 直 角 三 角 形 斜 边 的 中 线 直 角 三 角 形 斜 边 的中 线 等 于 斜 边 的 一 半 . D C B A 二 .典 例 精 析 例 1 下 列 语 句 ： 有 三 个 角 相 等 的 四 边 形是 矩 形 ， 四 边 相 等 的 四 边 形 是 正 方 形 ， 一 组 邻 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 ， 一 组对 边 平 行 ， 另 一 组 对 边 相 等 的 四 边 形 是 平行 四 边 形 。 其 中 叙 述 错 误 的 是 （ ）(A) (B) (C) (D) D 例 2 下 列 说 法 不 正 确 的 是 ( )(A)一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形(B)对 角 线 相 等 的 菱 形 是 正 方 形(C)对 角 线 互 相 垂 直 的 矩 形 是 正 方 形(D)有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是正 方 形 D 例 3 在 ABC中 ,点 E、 D、 F分 别 在 边 AB、 BC、CA上 ， 且 DE CA， DF BA。 下 列 四 种 说 法中 正 确 的 有 。(A)四 边 形 AEDF是 平 行 四 边 形 (B)如 果 BAC=90 ，那 么 四 边 形 AEDF是 矩 形 (C)如 果 AD平 分 BAC，那 么 四 边 形 AEDF是 菱 形 (D)如 果 AD BC， 且 AB=AC，那 么 四 边 形 AEDF是 菱 形A、 B、 C、 D AB CDE F 例 1 矩 形 的 一 个 角 的 平 行 线 分 矩 形 的一 边 为 1cm和 3cm两 部 分 ， 求 矩 形 的 面 积 。AB CDE AB CDE解 :若 AE=1,则 ED=3. ABCD为 矩 形 , AD BC, AEB= EBC, BE是 角 平 分 线 , AEB= ABE AB=AE=1, S=AB BC=1 4=4若 AE=3,则 S=12 例 1 已 知 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 下 列条 件 ： AC=BD； AB=AD； 1= 2； AB BC。 其 中 能 说 明 ABCD是 矩 形 的有 。 1AB CD2 例 2 菱 形 的 周 长 为 24， 一 条 对 角 线 长为 8， 求 菱 形 的 面 积 。46 O DAB C 解 : 菱 形 的 周 长 为 24, AB=24 4=6若 AC=8,则 AO=4, AC BD, 22 AOABBO 22 46 52 5162 5482 BDACS ABCD菱 形 33BO 练 2 菱 形 的 周 长 为 24,两 邻 角 的 比 为1:2,求 对 角 线 的 长 。630 O DAB C 解 : 菱 形 的 周 长 为 24, AB=24 4=6 BAD: ABC=1:2 BAD+ ABC=180 ABC=60 ABO=30 AO=3, AC=6, 36BD 例 3 矩 形 ABCD中 ,对 角 线 AC、 BD相 交 于点 O,AE BD,垂 足 为 E,若 DAE=2 BAE,求 EAC的 度 数 O E A B C D 解 :设 BAE=x,则 DAE=2x,902 xx 30 x,30 BAE 60DAE AE BD, ,30 ADE AC=BD, AO=DO, ,30 ADEDAO DAODAEEAC 303060 例 11 矩 形 ABCD的 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O，AP BD， DP AC， AP、 DP相 交 于 点 P。 则 四边 形 AODP是 什 么 样 的 特 殊 四 边 形 ？ 并 说 明你 的 理 由 。AB P CDO 1.先 证 AO=DO2.再 证 四 边 形 AODP是 平 行 四 边 形3.根 据 定 义 证 四 边 形AODP是 菱 形 例 4 ABC中 ,AB=AC,AD是 BC边 上 的 高 ，AE是 ABC的 外 角 平 分 线 ,DE AB.求 证 :四边 形 ADCE是 矩 形 。 E B D A C F 证 : AD是 高 , ADC=90 AB=AC, B= ACB FAC= B+ ACB =2 B AE是 外 角 平 分 线 , 2 FAE=2 B, FAE= B AE BC E B D A C F ADC=90 AB=AC,AD是 高 , AE=BD, AE BC, DE AB, 四 边 形 ABDE是 平 行 四 边 形 , BD=DC, AE=DC, 四 边 形 ADCE是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 ADCE是 矩 形 . 例 5 菱 形 ABCD中 ,E、 F分 别 是 BC、 CD上的 点 , B= EAF=600,若 BAE=200,求 CEF的 度 数 。 解 : ABCD是 菱 形 , BA=BC 1= 2 ABC是 等 边 三 角 形连 结 AC, B=60 , BAC=60 , EAF=60 , 3 21 A DCB E F 3 21 A DCB E F B=60 BCD=1204 AC平 分 对 角 , 4=60 ABC是 等 边 三 角 形 AB=AC在 ABE与 ACF中 , B= 4 1= 2 B= 4AB=AC 3 21 A DCB E F4 ABE ACF AE=AF, AEC= B+ 1 EAF=60 AEF是 等 边 三 角 形 CEF=20 AEC= AEF+ CEF B+ 1= AEF+ CEFCEF 602060 AEF=60 例 10 如 图 ， AD FE， 点 B、 C在 AD上 ， 1= 2， BF=BC。 求 证 ： 四 边 形 BCEF是 菱 形 。A EB C DF21 3 证 明 ： AD FE 3= 2 1= 2 1= 3 BF=EF BF=BC EF=BC A EB C DF21 3 四 边 形 BCEF是 平 行 四 边 形 AD FE BF=BC 四 边 形 BCEF是 菱 形 (2)若 AB=BC=CD， 求 证 ： ACF BDEA EB C DF21 3证 明 ： AD FE， EF=BC， AB=BC AB FE， EF=AB 四 边 形 ABEF是 平 行 四 边 形 AF=BF (2)若 AB=BC=CD， 求 证 ： ACF BDEA EB C DF21 3同 理 ， 四 边 形 ABEF是 平 行 四 边 形 FC=ED AB=BC=CD AC=BD ACF BDE (SSS) 例 6 如 图 ,正 方 形 ABCD中 ,E是 AC上 一 点 , AG EB,求 证 :OE=OF 3 2 1 F O G B C A D E 证 : ABCD是 正 方 形 , AO=BO, AOF= BOE=90 AG BE,BO AC 1+ 3=90 2+ 3=90 1= 2在 AOF与 BOE中 3 2 1 F O G B C A D E AOF= BOE 1= 2AO=BO AOF BOE OF=OE方 法 提 示 : 本 题 运 用 了 正 方 形 对 角 线 互 相 垂 直平 分 等 重 要 性 质 , 但 观 察 出 两 直 角 三 角形 全 等 才 是 关 键 . 练 6 如 图 ,点 E在 AC的 延 长 线 上 ,AG垂 直于 BE,垂 足 在 EB的 延 长 线 上 ,OE=OF？ 1 G F O B C A D E答 :依 然 成 立 .先 证 E= F,再 证 全 等 . 例 10 在 ABC中 ， A=45 ， ACB=90 EF垂 直 平 分 BC交 BC于 D， 交 AB于 E， 且 CF=BE四 边 形 BECF是 正 方 形 吗 ？ 请 说 明 你 的 理 由A BCDE F解 ： 四 边 形 BECF是 正 方 形 EF垂 直 平 分 BC BE=CE， BF=CF BE=CF BE=CE=BF=CF 四 边 形 BECF是 菱 形 A BCDE F1 2 A=45 1=45 四 边 形 BECF是 菱 形 ACB=90 2= 1=45 2+ 1=90 EBF=90 四 边 形 BECF是 正 方 形 例 7 如 图 ,BD、 CE是 高 ,G、 F分 别 是 BC、DE的 中 点 ,试 说 明 ： FG DE G F DE A B C 证 :连 EG、 DG.在 BCD中 , BD是 高 ,G是 BC中 点 ,21 BCDG BCE 21G 同 理 DG=EG, DGE等 腰 . F是 DE中 点 , FG DE 练 7 如 图 ,等 腰 梯 形 ABCD中 ,M是 BC的 中点 ,AB CD, AOB=60 ,E、 F分 别 是 OD、 OA的 中 点 .求 证 ： EFM是 等 边 三 角 形 。1、 证 AC=BD， 进 而 可 证 ABD、 BAC全 等 ；2、 由 ABD= BAC， 推OA=OB， OC=OD；3、 等 边 OCD、 OAB；4、 M为 中 点 ， 中 线 EM=FM；5、 EF为 中 位 线 ， 为 BC一 半MFE O CDA B 例 8 将 长 方 形 ABCD沿 直 线 BD折 叠 ,使 点C落 在 点 C处 ,BC 交 AD于 E,AD=8,AB=4,求 BED的 面 积 。32 1E C DAB C 解 : BCD沿 BD折 叠 得 BCD 1= 2 ABCD是 矩 形 , AD BC 1= 3 2= 3 设 BE=X,得 DE=x,AE=8-x32 1E C DAB C DE=BE ABCD是 矩 形 , A=90 222 BEAEAB 222 84 xx ,5x 1021 ABDES BED 5 DEBE 练 8 长 方 形 ABCD中 ,AB=3,BC=4,若 将 矩形 折 叠 ,使 C点 与 A点 重 合 ,求 折 痕 EF的 长 。3、 EF是 折 痕 ， AC被 EF垂 直 平分 ， 在 Rt AEO中 求1、 在 Rt ABC中 求 AC=52、 设 BE=x， 得 EC=4-X， 得AE=4-x， 在 Rt ABE中 用 勾股 定 理 求 87x 815EO 415 .4 EFx4-x 4-xOD DAB CE F 例 9 用 不 同 的 方 法 将 矩 形 ABCD分 成 面积 相 等 的 两 部 分 。你 能 将 矩 形 分 成 面 积 相 等 的 四 等 分 吗 ？三 等 分 矩 形 面 积 ， 你 会 吗 ？ 例 10 你 能 用 一 条 直 线 把 这 块 地 分 成 面积 相 等 的 两 部 分 吗 ？ 请 说 明 你 的 道 理 。 例 11 在 四 边 形 ABCD中 ,对 角 线 BD、 AC交 于 点 O,从 下 列 六 个 条 件 中 ,选 取 三 个 推 出四 边 形 ABCD是 菱 形 。答 案 ： 125、 126、 345、 346(1)AB=CD (2)AB CD (3)OA=OC(4)OB=OD (5)AC BD (6)AC平 分 BAD A B C D 练 11 在 四 边 形 ABCD中 ,AD BC,对 角 线AC、 BD相 交 于 O,若 要 使 四 边 形 ABCD为 菱 形 ,还 要 添 加 什 么 条 件 ？2.AD=BC， AB=AD O A D B C 1.AB CD， AB=AD3. ABD= BDC,AB=AD解 :有 三 种 添 法 例 12 在 ABC中 ,AD是 BAC的 平 分 线 , DE AC,DF AB,AD、 EF互 相 垂 直 吗 ？ 说 说你 的 理 由 。 3 21 F E DB C A 2.证 2= 3 思 路 提 示 :1.证 1= 24.证 AEDF是 平 行 四 边 形3.由 1= 3得 AE=DE5.证 AEDF是 菱 形 三 .拓 展 加 深 例 13 如 图 , 动 点 Q、 H、 E、 F分 别 从 正方 形 ABCD的 顶 点 A、 B、 C、 D同 时 出 发 沿 着AB、 BC、 CD、 DA向 B、 C、 D、 A移 动 ,移 动 速度 相 同 .(1)求 证 ： 四 边 形 QHEF是 正 方 形 . 3 2 1 B C A D G H E F 解 : ABCD为 正 方 形 , AB=BC=CD=DA AG=BH=CE=DF GB=HC=ED=FA A= B= C= D 3 2 1 B C A D G H E F AGF BHG CEH DFE GH=HE=EF=FG 四 边 形 GHEF为 菱 形 . 1= 3 2+ 3=90 1+ 2=90 FGH=90 四 边 形 GHEF为 正 方 形 . (2)QE是 否 总 过 某 一 定 点 ， 并 说 明 理 由 . 3 2 1 B C A D G H E FO 解 :连 AC,GE. AB CD AG CE AG=CE 四 边 形 AGCE为 平 行 四 边 形 . AC,GE交 于 中 点 . GE必 过 AC的 中 点 . (3)四 边 形 QHEF的 顶 点 位 于 何 处 时 其 面 积最 大 ?最 小 ?其 值 各 是 多 少 ? 3 2 1 B C A D G H E F 解 :设 AG=x,AB=a,则 AF=a-x. 2GHS GHEF 正 方 形 22 AFAG 22 xax 222 22 aax 3 2 1 B C A D G H E F 2,2 2aSax 最 小时当 当 x=0或 x=a时 ,四 边 形 GHEF就 是 正 方 形 ABCD.故 2,0 aSax 最 大时当 ED C B A F 例 14 在 ABC中 , ACB=90 ,DE为 中位 线 ,在 DE的 延 长 线 上 取 点 F,使 AF=CE.(1)四 边 形 ACEF是 什 么 四 边 形 ?1 32 解 : ACB=90 ,E为 中 点 AE=CE, AF=CE, AE=AF, 1= 2 3= F, ED C B A F1 32 EF=AC, EF AC ACEF为 平 行 四 边 形 . 1= 2= 3= F, AE公 共 , FEA CAE DE为 中 位 线 , EF AC 2= 3 (2)当 B的 大 小 满 足 什 么 条 件 时 ,四 边形 ACEF是 菱 形 ? ED C B A F1 32 解 : B=30 时 ,结 论 成 立 . B=30 2=60 ACE等 边同 理 , ACE等 边 AE公 共 , AC=CE=EF=FA, ACEF为 菱 形 . (3)四 边 形 ACEF有 可 能 是 正 方 形 吗 ? ED C B A F1 32 解 :不 可 能 是 正 方 形 . E为 AB中 点 1= ACB ACEF的 内 角 不能 是 直 角 . 543 FAB CD E 例 13 如 图 ,矩 形 ABCD中 ,延 长 BC至 E,使BE=BD,F是 DE中 点 ,连 接 AF,CF.求 证 :AF CF 12 证 :连 接 BF. BD=BE,F是 DE中 点 BF DE 2+ 3=90 四 边 形 ABCD是 矩 形 AD=BC ADC= BCD=90 ADF BCF(SAS)543 FAB CD E12 F是 DE中 点 FC=FD 4= 5 ADF= BCF 3= 1 2+ 3=90 2+ 1=90 AF FC 作 业 温 故 知 新 ,不 亦 乐 乎 .
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