《概率统计教学资料》第4章正态分布

2021-7-30 1,x,exf 2 x 2 )( 221)( ).,( 2NX ,0 为 常 数其 中 一 、 正 态 分 布 的 定 义定 义 . 设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为则 称 X服 从 正 态 分 布记 作1. 正 态 分 布 ( Normal distribution )或 高 斯 分 布 ), 2021-7-30 2；21最 大 值 正 态 密 度 函 数 的 特 性 ： x Rx,exf 2x 2 )( 221)( 21 )(xfy ；对 称曲 线 关 于 x)1( 取 得时当 )(2 xfx，）（；，轴 为 渐 近 线以时当 xxfx 0)()3( 121)4( 2 22 )( dxe x x y dxe 2 2 22)(x 2021-7-30 30.5 1 1.5 ，）（对 称 轴 不 变的 大 小 时改 变当 固 定 )(6 xf图 形 越 矮 越 胖 . 越 大图 形 越 高 越 瘦越 小而 形 状 在 改 变 , ；，. )(5 轴 作 平 移 变 化只 是 沿 着 的 图 形 不 变的 大 小 时改 变当 固 定 y xf，）（ xxyO o xy311 2021-7-30 4 2. 标 准 正 态 分 布为 标 准 正 态 分 布 ,1,0 时当 ,NX 1)(0,特 别 地 , .x,ex x 2221)( o xy.dtex x t 2221)(且 其 分 布 函 数 ： x)(x 则 称 N(0,1)其 概 率 密 度 为 2021-7-30 5 ：)的 性 质(标 准 正 态 分 布 函 数 x).(1 x o xy )(x xx)0()1( ;21)()2( dxe x2221 ,1)( x ;222 dxe x(3) 2021-7-30 6 ).1,0( NY3. 正 态 分 布 向 标 准 正 态 分 布 的 转 化),( 2NX若 ,XY 将 随 机 变 量 X进 行 标 准 化 ,即 令则 有 则 X落 在 区 间 x1, x2内 的),( 2NX )( 21 xXxP 定 理 ： 设 . x x )()( 12 概 率 为 2021-7-30 7 二 、 正 态 分 布 的 数 字 特 征;)(.1 XE期 望 .)(.2 2XD方 差 XDX )()(3. 标 准 差 2021-7-30 8( 法 则 ) 求 X 落 在 区 间内 的 概 率 . ),( 2NX)3,3( 解 : .9973.03倍 标 准 差 原 理 : 3 设 很 大 ,基 本 上 认 为 此 区 间 为 X实 际可 能 的 取 值 区 间 . 997.0)3|(| XP则例 .设 随 机 变 量 )33( XP )3()3( )3()3( 1)3(2 199865.02 ),( 2NX )33( , 2021-7-30 9 思 考 ： ？，, 变 化 吗变 化 的 时 候当 )( |X|P .)|(| 保 持 不 变但变 化 XP，、.6826.0 )1|(| XP )|(| XP )1()1( 1)1(2 18413.02 分 析 : ),N(X 2设 2021-7-30 103(线 性 组 合 性 ).设且 X、 Y相 互 独 立 , 则 正 态 分 布 的 性 质 nXXX , 21,2,1),( 2 niNX iii ),( 2NX ).,( 22 bbaNbXaY 则1 (线 性 性 ). 若 ),(),( 22 yyxx NYNX ).,( 22 yxyxNYX 2 (可 加 性 ). 设 相 互 独 立 ， 且则 ).,( 1 2211 ni iini iini ii ccNXc 2021-7-30 11 且, 21 nXXX ;,2,1,0)(,)( 2niXDXE ii 则 随 机 变 量 xn nXP ni in 1lim 设 随 机 变 量 相 互 独 立 , 服 从 相 同的 分 布 ,定 理 1.独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 .dte x t 2221n nXY ni i*n 1对 于 任 何 实 数 x， 有 2021-7-30 12 注 ： ,)1( * 分 布的 分 布 将 趋 于 标 准 正 态时当 nYn， ).1,0(* ANYn即(3) 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 的 和 近 似 服 从 正 态 分 布 . );,(1 );,()2( 21 21* nANXnX nnANXY ni ini in 2021-7-30 13 定 理 2.棣 莫 弗 -拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 设 在 独 立 试 验 序 列 中 ， 事 件 A的 概 率 P(A)=p( 0p1 ), 随 机 变 量 Yn 表 示 事 件 A在 n次 试 验 中发 生 的 次 数 ， 则 对 于 任 何 实 数 x， 有 xpnp npYP nn )-(1lim .dte x t 2221注 ： 由 定 理 知 Yn B(n, p).当 n充 分 大 时 , 将 Yn标 准 化 后 , 其 近 似 服 从 N(0,1);而 Yn近 似 服 从 N (np, np(1-p). 2021-7-30 14 二 维 正 态 分 布 ,12 1),( )()(2)()1(2 12 2 22 22 yyyx yxxx yyxrxryx eryxf .)1|(|,0,0,是分布参数，其中 rr yxyx 定 义 : 设 二 维 连 续 随 机 变 量 (X,Y)的 联 合 概 率 密 度则 称 (X, Y)服 从 二 维 正 态 分 布 ， 记 作 ),(),( 22 rNYX yxyx 2021-7-30 15 定 理 1 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y)服 从 二 维 正 态 分 布为何值，都有正态分布，且无论参数的边缘分布都是与则)1|(|YX),( 22 rrrN yxyx 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布。).,(),( 22 yyxx NYNX 定 理 2 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y)服 从 二 维 正 态 分 布 等于零。是相关系数相互独立的充要条件与则r rN yxyx YX),( 22