积分的轮换对称性

：简单的说就是将坐标轴重新命名，如果表达不变，则中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。 特点及规律: (1) 对于曲面积分，积分曲面为，如果将函数 u(x,y,z)=0中的 换成后，u( )仍等于0,即,也就是，那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z)dS=f ( )dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的 换成 后，u( )=0 那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z) dS= f( )dS；如果将函数u(x,y,z)=0 中的 换成后，u( )=0，那么在这个曲面上的积分 f(x,y,z) dS=f( )dS ， 同样可以进行多种其它的变换。 (2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积 分 f(x,y,z)dxdy=f(y,z,x)dydz, f(x,y,z)dydz=f(y,z,x)dzdx, f(x,y,z)dzdx=f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 f(x,y)ds=f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类和（2）总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。 例 计算 ， 其中L是球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线。L dsx 2解由对称性可知 LLL dszdsydsx 222 LL dszyxdsx )(31 2222 LL dsRdsR 22 3131 RR 231 2 ex. 计算,d)( 22 szyxI其中 为曲线 0 2222 zyx azyx解: 利用轮换对称性 , 有szsysx ddd 222 利用重心公式知sysy dd 0szyxI d)(32 222 sa d32 2 334 a zo yx(的重心在原点)