16-2二元函数的极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,二元函数的极限,一、二元函数的极限,二、累次极限,回忆一元函数的极限,.,设,y,=,f,(,x,),当 x 不管是从 x0的左边,还是从,x,0,的右边无限接近于,x,0,时,对应的函数值无限接近于数,A,.,表示,如图,x,y,A,0,f,(,x,),f,(,x,),y,=,f,(,x,),x,0,x,x,x,x,0,回顾：一元函数极限的 定义。,设二元函数,z=f,(,P,)=,f,(,x,y,),定义域为,D,.,如图,D,z,=,f,(,x,y,),P,P,假设当P在D内变动并无限接近于P0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值 f(P)无限接近于数 A,则称,A,为当,P,趋近于,P,0,时,f,(,P,),的极限.,P,0,A,y,z,x,o,f,(,P,),一、二元函数的极限,(,二重极限,),类似于一元函数,f,(,P,),无限接近于数,A,可用|,f,(,P,),A,|,刻划.而平面上的点,P,=(,x,y,),无限接近于点,P,0,=(,x,0,y,0,),则可用它们之间的距离,1.,二重极限的定义,定义,1,设,为定义在,上的二元函数,为,的一个聚点,是一个确定的实数.假设,使得当,时,都有,成立,在,上当,时,为,(,二重,),极限,.,则称,记作,简记为,当,和,分别用坐标,和,表示时,也可以写作,D,z,=,f,(,x,y,),P,0,A,y,z,x,o,以,上面二元函数极限的定义也称为极限的,定义,.,定义的区分.,留意与一元函数极限的,例,1,用,“,”,定义验证极限,例,2,用,“,”,定义验证极限,证明,例,3,设,2,二元函数极限存在的条件,定理,16.5,的充要,的任一子集,只要,是,条件是,:,对于,的聚点,就有,注,:,该定理与一元函数极限的海涅归结原则,(,以及证明方法,),类似,.,推论,1,设,是,的聚点,不存在,也不存在,.,假设,则,推论,2,设,假设存在极限,和,但,则,不存在,.,是它们的聚点,注,:,推论,1,和推论,2,多用于证明极限,不存在,尤其是推论,2.,极限存在,(,以下例,5).,可证明沿某个方向极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限,与方向有关,(,以下例,4).,但应留意,沿任何方向的极限,存在且相等,例,4,考察函数,在,处的极限,.,分析,:,找过,的两条直线,证明当动点,沿直线趋向于,时,函数有极限但不相等,.,例5 争论二元函数,在,处的极限,.,解,:1.,当动点,沿直线趋向于点,时,都趋向于零,.,沿抛物线,趋向于点,时,都趋向于,1.,相应的,2.,当动点,相应的,因此所争论的极限不存在.,推论,3,极限,存在的充要条件是,:,对于,中任一满足条件,且,的点列,它所对,都收敛,.,应的函数列,注,:,推论,1-3,的证明可由定理,16.5,直接得到,自证推论,3.,定义,2,设,是,的一个,总,当,时,都有,则称,在,上当,时有非正常,记作,或,聚点,假设,极限,(,广义极限,),3,二元函数的非正常极限,类似定义,例,6,考察,在点,处的极限,.,留意到,因此,下面用非正常极限的定义加以验证,.,由于,取,当,时就有,所以,解,4,二元函数,(,二重,),极限运算性质,与一元函数极限运算性质完全类似,例7 求以下极限:1),2),3),习题,:,p106,1(1,2,3,6,7),二、累次极限,1.,累次极限的定义,定义,3,设,为,的聚点,一元函数,在,处极限存在,假设对于每个固定的,记为,进一步,假设,存在,先对,后对,的累次极限存在,则称,记为,类似定义先对,后对,的累次极限,例,8,考察,在,处的两个累次,极限和重极限,.,解,:,考虑动点,沿直线,趋向于,与,有关,在,处的极限不存在,.,因此,例,9,考察,(1),(2),在,处的两个累次极限和重极限,.,解,:,(,板书,),答案：,(1),一个累次极限存在,另一个累次极限,不存在,但重极限存在为,0;,存在,但重极限存在为,0,(2),两个累次极限都不,2.,重极限与累次极限的关系,(1),两个累次极限存在时,可以不相等,.(,例,8),(2),两个累次极限可以一个存在另一个不存在,.(,例,9),(3),重极限存在时,两个累次极限可以不存在,.(,例,9).,(4),两个累次极限存在,(,甚至相等,),重极限存在,.,(,参阅书上例,6,p104),定理16.6 假设重极限,和累次极限,(,或另一次序,),都存在,综上,重极限、两个累次极限三者的存在性,彼此没有关系,.,但有以下确定关系,.,则它们必相等,.,定理16.6 假设重极限,和累次极限,(,或另一次序,),都存在,则它们必相等,.,证明方法：,设,由于,所以在,从而在,要证,的某空心,邻域内,(,如图,),的某空心邻域内,推论,1,重极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等,.,注,:,推论,1,给出了累次极限次序可换的一个充分条件,.,推论,2,两个累次极限存在但不相等时,重极限不存在,.,留意:两个累次极限中一个存在,另一个不存在,重极限不存在,.,作业,:p107,2(1,2,4);4,