资源描述
合肥工业大学,误差理论与数据处理,第5章,线性参数的最小二乘处理,主要内容,第一节最小二乘原理,最小二乘原理,等精度测量线性参数的最小二乘原理,不,等精度测量线性参数的最小二乘原理,第二节正规方程,线性参数的最小二乘处理的正规方程,非线性参数的最小二乘处理的正规方程,最小二乘原理和算术平均值原理的关系,第三节精度估计,测量数据的精度估计,最小二乘估计量的精度估计,第四节组合测量的最小二乘法处理,第一节最小二乘原理,一、引入,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：,如何根据和测量方程解得待测,量的估计值？,直接求得。,有利于减小随机误差，方程组,有冗余，采用最小二乘原理求,。,第一节最小二乘原理,讨论：,最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,第一节最小二乘原理,若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为,由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率,为,第一节最小二乘原理,测量值 已经出现，有理由认为这,n,个测量值,出现于相应区间的概率,P,为最大。要使,P,最大，应有,最小,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表,示为,最小,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,第一节最小二乘原理,最小,最小二乘原理,（其他分布也适用）,：,测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。,第一节最小二乘原理,令,则残差方程的矩阵表达式为,等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,第一节最小二乘原理,思路一：,权矩阵,四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理,第二节正规方程,正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的,有确定解的代数方程组,一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,看正规方程组中第,r,个方程：,则正规方程可写成,第二节正规方程,即,正规方程的矩阵形式,第二节正规方程,将代入到中，得,（待测量的无偏估计）,第二节正规方程,按照最小二乘的矩阵形式计算,则有：,第二节正规方程,那么：,第二节正规方程,二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规,方程,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的,正规方程：,第二节正规方程,整理得：,第二节正规方程,即,不等精度的正规方程,将代入上式，得,（待测量的无偏估计）,第二节正规方程,令,三、非线性参数最小二乘处理的正规方程,第二节正规方程,针对非线性函数,其测量误差方程为,令 ，现将函数在,处展开，则有,将上述展开式代入误差方程，令,则误差方程转化为线性方程组,于是可解得 ，进而可得 。,近似值,第二节正规方程,按照最小二乘原理可求得,结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，,算术平均值原理是最小二乘原理的特例。,第二节正规方程,第三节精度估计,目的：给出估计量 的精度,一、测量数据精度估计,A,）等精度测量数据的精度估计,对 进行,n,次等精度测量，给出 的估计量。,可以证明 是自由度（,n,t,）的 变量。,根据 变量的性质，有,第三节精度估计,B,）不等精度测量数据的精度估计,测量数据的单位权,标准差的无偏估计,第三节精度估计,二、最小二乘估计量的精度估计,A,）等精度测量最小二乘估计量的精度估计,设有正规方程,第三节精度估计,设,利用上述不定乘数，可求得,其中：,第三节精度估计,由于 为等精度 的相互独立的正态随机变量,同理可得,则相应的最小二乘估计值的标准差为,B,）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计,第三节精度估计,同理经推导可得：,各不定乘数 由 求得：,第四节组合测量的最小二乘处理,组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是,等精度），然后对这些测量数据进行处理，,从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。,以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线,A,、,B,、,C,、,D,间的距离 。,A,B,C,D,A,B,C,D,第四节组合测量的最小二乘处理,直接测量各组合量，得,首先列出误差方程,由此可得：,第四节组合测量的最小二乘处理,则,式中，,现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入,误差方程中，,第四节组合测量的最小二乘处理,第四节组合测量的最小二乘处理,那么，,测量数据 的标准差为,第四节组合测量的最小二乘处理,已知,则最小二乘估计量 的标准差为,
展开阅读全文