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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数同济六版,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,11/28/2024,高数同济六版,一、微分的概念,引例,:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少,?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的,线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,11/28/2024,高数同济六版,的,微分,定义,:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数,),则称函数,而 称为,记作,即,定理,:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可,微,11/28/2024,高数同济六版,定理,:,函数,证,:,“,必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,11/28/2024,高数同济六版,定理,:,函数,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,11/28/2024,高数同济六版,说明,:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,11/28/2024,高数同济六版,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,11/28/2024,高数同济六版,例如,基本初等函数的微分公式,(,见,P116,表,),又如,11/28/2024,高数同济六版,二、微分运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,),均可微,则,(,C,为常数,),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.,复合函数的微分,则复合函数,11/28/2024,高数同济六版,例1.,求,解,:,11/28/2024,高数同济六版,例,2.,设,求,解,:,利用一阶微分形式不变性,有,例,3.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立,:,说明,:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,.,注意,数学中的反问题往往出现多值性,.,注意,:,11/28/2024,高数同济六版,注,数学中的反问题往往出现多值性,例如,11/28/2024,高数同济六版,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则,:,得近似等式,:,11/28/2024,高数同济六版,特别当,很小时,常用近似公式,:,很小,),证明,:,令,得,11/28/2024,高数同济六版,的近似值,.,解,:,设,取,则,例,4.,求,11/28/2024,高数同济六版,的近似值,.,解,:,例,5.,计算,11/28/2024,高数同济六版,例,6.,有一批半径为,1cm,的球,为了提高球面的光洁度,解,:,已知球体体积为,镀铜体积为,V,在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(,g),用铜多少克,.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为,0.01,cm,11/28/2024,高数同济六版,*,四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为,A,其近似值为,a,称为,a,的,绝对误差,称为,a,的,相对误差,若,称为测量,A,的,绝对误差限,称为测量,A,的,相对误差限,11/28/2024,高数同济六版,误差传递公式,:,已知测量误差限为,按公式,计算,y,值时的误差,故,y,的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得,x,11/28/2024,高数同济六版,例,7.,设测得圆钢截面的直径,测量,D,的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解,:,计算,A,的,绝对误差限约为,A,的,相对误差限约为,试估计面积的误差,.,计算,(,mm,2,),11/28/2024,高数同济六版,内容小结,1.,微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.,微分运算法则,微分形式不变性,:,(,u,是自变量或中间变量,),3.,微分的应用,近似计算,估计误差,11/28/2024,高数同济六版,思考与练习,1.,设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负,.,11/28/2024,高数同济六版,2.,11/28/2024,高数同济六版,5.,设,由,方程,确定,解,:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,6.,设,且,则,11/28/2024,高数同济六版,作业,P123 1;,3,(4),(7),(8),(9),(10),;,4;5;8,(1);,9,(2),;,*,12,习题课,11/28/2024,高数同济六版,1.,已知,求,解,：,因为,所以,备用题,11/28/2024,高数同济六版,已知,求,解,:,方程两边求微分,得,2.,习题课,11/28/2024,高数同济六版,
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