平面问题中一点的应力状态

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,已知,任一点,P,处坐标面上应力 ，,求,经过该点的任何斜面上的应力。,问题的提出：,25平面问题中一点的,应力状态,问题,空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即，可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。,求解：,取出一个三角形微分体（包含 面，,面， 面），,边长,问题,斜面应力表示：,y,x,P,A,P,B,p,p,x,p,y,N,N,n,平面问题中一点的应力状态,几何参数：,设,AB,面面积=,ds,，,PB,面积=,lds,，,PA面积=,mds。,斜面上应力分解为：,由,Y=,0得：,由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得,(1),求,（ , ）,斜面应力,其中：,l=,cos(,n,x,),m=,cos(,n,y,)。,平面问题中一点的应力状态,y,x,P,A,P,B,p,p,x,p,y,斜面上应力分解为：,N,N,（2-4）,（2-5）,已知P点应力,x,y,xy,可求出过P点任意斜面上的,正应力和剪应力（,N,N,）,利用（2-4）（2-5）,应力在x，y轴上的投影（,p,x,，p,y,）,利用（2-3）,n,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将,N,转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。,（3）若,AB,面为物体的边界,S,，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,y,x,P,A,P,B,p,p,x,p,y,N,N,n,主平面主应力：剪应力等于零的平面叫,主平面,主平面上的应力叫主应力。,p,x,p,y,y,x,A,P,B,n,2,(,x,+,y,),+,(,x,y,2,xy,),=,0,p,x,p,y,y,x,A,P,B,n,注意:平面应力状态下,任一点一般都存在,两个主应力。二者方向互相垂直。,1,+,2,=,x,+,y,任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。,最大剪应力所在平面与主,平面相交45，其值为,主平面上剪应力等于零，但,max,作用面上正应力一般不为零。而是：,将,x,，,y,放在 方向，列出任一斜面上,应力公式，可以得出（设 ）,求最大，最小应力,最大，最小应力,说明：以上均应用弹力符号规定导出。,(d),最大、最小剪应力,由,显然，当,时，,N,为最大、最小值：,由,得，,max,、,min,的方向与,1,（,2,）,成45。,x,y,O,dx,dy,ds,P,A,B,N,s,小结：,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：,1,与,2,互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max,、,min,的方向与,1,（,2,）,成45。,注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转到,x,轴为正）,例：已知平面一点的应力状态为,。求该点的主应力和主平面方向。,解：,平面问题的基本理论,试证明：,在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的 数值都等于两个主应力的平均值。,例题,已知,X,=,q,，,y,=0，,xy,=,-2q，,求： ,1,， ,2,，,1,1,=2.562,q,2,=-1.562,q,tg,1,=-0.781,1,=-37.99,o,=-37,o,59,问题：,平面问题中，,(,a),已知一点的应力为 ，那么任一方向的正应力,n,为,n,为,;,（,b）已知,那么,2-6 边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,（2-15）,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的,边界条件,下，上述8个方程可解。,位移边界条件,设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有,（在 上)。,（a）,边界条件,表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。, 若为简单的,固定边,， 则有,位移边界条件的说明：,（在 上）。（,b,）, 它是,在边界上,物体保持连续性的条,件，或,位移保持连续性的条件,。, 它是,函数方程,，要求在 上每一点 ，,位移与对应的约束位移相等。,通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,应力边界条件,设在 上给定了面力分,量,（在,A,中）。（,c,）,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得,应力边界条件:, 它是边界上微分体的静力平衡条件；,说明,应力边界条件的说明：, 式（,c,）在,A,中每一点均成立，而,式（,d,）只能在边界,s,上成立；, 它是,函数方程,，要求在边界上每一点,s,上均满足，这是精确的条件；, 所有边界均应满足，无面力的边界,（自由边） 也必须满足。, 式（,d,）中，,按应力符号规定，,， 按面力符号规定；, 位移,应力边界条件均为每个边界两,个，分别表示 ， 向的条件；,说明,若,x=a,为正,x,面，,l =,1,m =,0,则式(,d,)成为,当边界面为坐标面时,，,坐标面,若,x=-b,为负,x,面，,l = -,1,m =,0 ,则式(,d,)成为,应力边界条件的两种表达式：,两种表达式,在同一边界面上，应力分量应等于对,应的面力分量（数值相等，方向一,致）。,即在同一边界面上,应力数值应,等于面力数值(给定),应力方向应同面,力方向(给定)。,在边界点取出微分体，考虑其平衡条,件,，得式（,d,）或（,e,），（,f,）；,在斜面上，,在,坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（,e,），（,f ）,有区别。,例如：,两种表达式,例,列出边界条件：,如图所示，试写出其边界条件。,x,y,a,h,h,q,(1),(2),(3),(4),例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),A,B,C,x,y,h,p,(,x,),p,0,l,AB,段（,y,=,0,）：,代入边界条件公式，有,(2),BC,段（,x,=,l,）：,(3),AC,段（,y,=,x,tan,）:,N,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在,y,方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点,A,处无应力存在。,解：,平面应力问题，在,AC,、,AB,边界上无面力作用。即,AB,边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC,边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A,点同处于,AB,和,AC,的边界，满足式（1）和（2），解得,A,点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,N,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图,(a)：, 位移边界条件, 应力边界条件,图,(b)：, 位移边界条件, 应力边界条件, 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；,混合边界条件,混合边界条件：, 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,例3,列出 的边界条件：,弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足,A,内的方程和,S,上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。,圣维南原理及其应用,圣维南原理,可用于简化小边界上的应力边界条件。,如果把物体的,一小部分边界,上的面力，变换为分布不同但,静力等效的面力,（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），,那么，,近处,的应力分量将有显著的改变，,但,远处,所受的影响可以不计。,圣维南原理,圣维南原理：,圣维南原理,1.圣维南原理只能应用于,一小部分边界,（小边界，次要边界或局部边界）；,圣维南原理的说明：,4.,远处, 指“近处”之外。,3.,近处, 指面力变换范围的一，二倍,的局部区域；,2.,静力等效, 指两者主矢量相同，对,同一点主矩也相同；,圣维南原理,圣维南原理表明，在,小边界,上进行面力的静力等效变换后，只影响,近处（局部区域）,的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。,圣维南原理推广：,如果物体一小部分边界上的面力是,一个平衡力系,（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,例1,比较下列问题的应力解答：,b,举例：如何在局部边界上应用圣维南原理,局部边界，小边界或次要边界。,举例：圣维南原理的应用,P,P,P,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/A,P/A,P,例2,比较下列问题的应力解答：,推广,圣维南原理的应用：,1.推广解答的应用；,2.简化小边界上的边界条件。,应用,圣维南原理在小边界上的应用：,精确的应力边界条件,如图，考虑 小边界，,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。,(a),在边界 上，,在小边界,x=l,上，用下列条件代替式,(a),的条件：,在同一边界,x=l,上，,应力的主矢量,=,面力的主矢量（给定);,应力的主矩(,M,),=,面力的主矩（给定）.,数值相等,方向一致.,(b),圣维南原理,的应用积分的应力边界条件,右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；,左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。,具体列出3个积分的条件：,即：,应力的主矢量、主矩的,数值,=,面力的主矢量、主矩的,数值,；,应力的主矢量、主矩的,方向,=,面力的主矢量、主矩的,方向,。,式中,应力主矢量，主矩的正方向,正负号,的确定：,应力的主矢量的正方向,，即应力的正方向，,应力的主矩的正方向,，即（正应力）,（正的矩臂）的方向。,讨论：,1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式,(c),右边直接代入面力的主矢量，主矩；,2.在负,x,面， ，由于应力，面力的符号规定不同，应在式,(c),中右端取负号；,3.积分的应力边界条件,(b),或,(c),虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。,精确的应力边界条件 积分的应力边界条件,方程个数,2,3,方程性质,函数方程（难满足）,代数方程（易满足）,精确性,精确 近似,适用边界 大，小边界 小边界,比较：,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为,次要,边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,注意：,必须按正向假设！,由微元体的平衡求得，,例：,试问图所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？,例题,试列出图(,a)(b),的边界条件,。,解,:,(a),对于图,(a),的问题,在主要边界,y=,h/2,应精确满足下列,边界条件：,次,要边界,(b),在主要边界,x=0,b,应精确满足下列边界条件,:,在小边界,y,=0,应用：,P,P,A,A截面应力边界条件：,近似满足,注意：静力等效,平面问题的基本理论,思考题,1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用,圣维南原理,？,2、试列出负 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。,(1),对,复杂的力边界,，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些,位移边界,不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足,静力等效,条件；,(2),只能在,次要边界上,用圣维南原理，在,主要边界,上不能使用。,如：,A,B,主要边界,P,次要边界, 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相,同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论,平面应力问题,。,1.平面问题的基本方程及边界条件,平面问题,27按位移求解平面问题, 平面应力问题,平面域,A,内的基本方程:,平衡微分方程,（在,A,内）,几何方程,物理方程,（在,A,内）,（在,A,内）,应力边界条件,位移边界条件,（在 上）,（在 上）,S,上边界条件,:,8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。,按位移求解,（位移法）,取 ， 为,基本未知函数,，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。,2.解法消元法,解法,按应力求解,（应力法）,取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。,这是弹力问题的两种基本解法,。,3.,按位移求解, 将其他未知函数用 ，表示：,形变,用 ，表示几何方程;,应力,先用形变来表示（物理方程），,再代入几何方程，用 ，表示:, 取 ， 为基本未知函数；,按位移求解,在,A,中导出求 ，的基本方程,将式(,a,),代入平衡微分方程，,上式是用 ，表示的平衡微分方程。,位移边界条件,（在 上）(,d,),（在 上）(,c,),应力边界条件,将式,(a),代入应力边界条件,，, 在,S,上的边界条件,按位移求解时， ， 必须满足A内的方程,(b)和边界条件(c)，(d)。,归纳：,式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的条件;也是校核 ， 是否正确的全部条件。,按位移求解（位移法）的优缺点：,求函数式解答困难，,但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用,。,适用性广,可适用于任何边界条件。,例1,考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。,(,a,) (,b,),解：,为了简化，设,位移,按位移求解，位移应满足式(,b,),(,c,),(,d,)。,代入式(,b,),第一式自然满足，第二式成为,(,a,) (,b,),均属于位移边界条件，代入 ，,得,得,解出,在 处，,代入 ，并求出形变和应力，,按位移求解（位移法）的优缺点：,适用性广,可适用于任何边界条件。,求函数式解答困难，但在近似解法,（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。,平面,应,变,问题,对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将,在一般情况下,按位移求解平面问题,最后还须处理,联立的两个二阶偏微分方程,而不能再简化为处理一个单独微分方程的问题,(,像按应力求解平面问题时那样,),。这是按位移求解的缺点,也就是按位移求解并未能得出很多有用解答的原因。,但是,在原则上,按位移求解可以,适用于任何平面问题,不论体力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或,混,合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。,此外,在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。,思考题,试用位移法求解图(,b,)的位移和应力。,