多元函数积分小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元函数积分小结,各种积分之间的联系,定积分,二重积分,积分概念的联系,曲面积分,曲线积分,三重积分,二重积分,(1).,直角坐标系下的计算,(2). 极坐标系下的计算,1.直角坐标系下的计算,(1).,x,型区域上的计算,(2).,y,型区域上的计算,(3). 二重积分的换序问题,（1）,x,-,型区域,(2).,y,-,型区域,3,.极坐标系下的计算,(1)极点位于积分区域外,(2)极点位于积分区域边界上,(3)极点位于积分区域内部,性 质,三重积分,(1).,直角坐标系下的计算,(2). 利用柱面坐标计算,(,3).,利用球面坐标计算,(1).,直角坐标系下三重积分的计算,或其它坐标面上,(2). 利用柱面坐标计算,(,3).,利用球面坐标计算,性质,对弧长的曲线积分,(1).,直角坐标系下的计算,(2). 参数方程形式的计算,(1).,直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算,(2).,参数方程时对弧长的曲线积分的计算,三维空间中对弧长的曲线积分的计算,对坐标的曲线积分,(1).,直角坐标系下的计算,(2). 参数方程形式的计算,1.,直角坐标方程形式下的计算,2.,参数方程形式下的计算,直接计算法,第一类：,从,小,参数到,大,参数,；,第二类：,从,起点,参数到,终点,参数,。,化为对,L,的定位参数的定积分。,注意：,间接计算法,用两类曲线积分的联系；,用,Green,公式及其推论、,Stokes,公式,.,第二类与定向有关,。,两类曲线积分,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线再用公式,基本方法,对面积的曲面积分,直角坐标系下的计算,对坐标的曲面积分,直角坐标系下的计算,设积分曲面,由方程,z,z,(,x,y,),给出的,在,xOy,面上的投影区域为,D,xy,函数,z,z,(,x,y,),在,D,xy,上具有一阶连续偏导数,被积函数,R,(,x,y,z,),在,上连续,则有,其中当,取上侧时,积分前取“,”,当,取下侧时,积分前取“,”,计算,注意,:,对坐标的曲面积分与所取的侧有关。,两类曲面积分,直接计算法,第一类：化为对某两个直角坐标（,的定位参 数）的二重积分；,第二类：将对,x,、,y,的曲面积分化为对,x,、,y,的二重积分。,注意：,间接计算法,用两类曲面积分的联系；,用高斯公式。,第二类与定向有关,。,计算上的联系,理论上的联系,1.,二重积分与曲线积分的联系,格林公式,2.,三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,3.,曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green,公式,Stokes,公式,Guass,公式,各种积分之间的联系图,练习题,