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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 平面向量 单元复习,知识结构,实际背景,基本定理,坐标表示,数量积,向量,线性运算,向量的实际应用,向量的概念,及其几何运算,知识梳理,1.向量的有关概念,（1）向量：,既有大小，又有方向的量.,模为零的向量.,（2）向量的模（或长度）：,（3）零向量：,表示向量的有向线段的长度.,（4）单位向量：,模为1的向量.,（8）向量的数量积：,（5）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（6）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,（7）平行向量,（共线向量）：,方向相同或相反的非零向量.,a,b,=,|,a,|,b,|cos,.,三角形法则:,2.向量的几何运算,（1）加法运算：,平行四边形法则:,a,b,a,a,a,b,（2）减法运算：,三角形法则:,平行四边形法则:,a,b,a,a,-,b,-,a,（3）数乘运算：,a,1时,a,=,1时,a,0,1时,a,-1时,a,=,-1时,a,-1,0时,a,=,0时,a,3.向量定理,（1）共线定理：,（2）基本定理：,向量,a,（,a,0）与,b,共线，当且仅当有唯一一个实数，使,b,=,a,.,若,e,1,、,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,范例分析,例1 在ABC中，设,a,，,b,， 已知 ， ，试以,a,、,b,为基底表示向量 .,M,C,B,A,N,例2 在ABC中，已知点O满足:,，求证：点O是ABC的重心.,O,C,B,A,D,E,例3 在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BD=3BN，试推断点M、N、C是否共线？并说明理由.,A,B,C,D,M,N,例4 在RtABC中，已知斜边BC=2，线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 与 的夹角为60，求 .,P,C,B,A,Q,向量的字符运算,知识梳理,1.向量加法的运算性质,（,1,）,a,b,=,b,a,；,（2）,(,a,b,),c,a,(,b,c,)；,（3）,若,a,与,b,为相反向量，则,a,b,0；,（4）,若,b,c,a,，则,c,a,b,；,（5）,|,a,b,|,a,|,b,|，|,a,b,|,a,|,b,|；,（6）,2.向量数乘的运算性质,(1),(,a,),=,(,),a,；,(2),(,),a,=,a,a,；,(3),(,a,b,),=,a,b,；,3.数量积的运算性质,（1）,a,b,b,a,；,（2）(,a,),b,(,a,b,),a,(,b,),；,（3）(,a,b,),c,a,c,b,c,；,（4）,a,b a,b,0；,（5）,a,2,|,a,|,2,；,（6）,|,a,b,|,a,|,b,|；,范例分析,例1 已知向量,a,、,b,满足：|,a,|=4，且,a,(,a,b,)=,12，求向量,b,在,a,方向上的投影.,1,例2 已知非零向量,a,、,b,满足：,(,a,b,),b,，且(,a,2,b,)(,a,2,b,)，求向量,a,与,b,的,夹角.,60,例3 已知向量,a,、,b,、,c,两两之间的夹角为120，且|,a,|=1，|,b,|=2，|,c,|=3，求向量,a,b,c,与,a,的夹角.,150,例4 设向量,a,、,b,不共线，已知 2,a,k,b,，,a,b,，,a,2,b,，且A、B、D三点共线，求实数k的值.,k=1,向量的坐标运算,知识梳理,1.向量的坐标表示,（1）设,i,、,j,是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若,a,x,i,y,j,，则,a,(x，y),；,（2）若点A(x,1,y,1,)，B(x,2,y,2,)，则 (x,2,x,1,，y,2,y,1,).,2.向量的坐标运算,设向量,a,=(x,1,，y,1,),b,=(x,2,，y,2,),则,（1）,a,b,(x,1,x,2,，y,1,y,2,)；,（2）,a,b,(x,1,x,2,，y,1,y,2,)；,（3）,a,(x,1,，y,1,)；,（4）,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,；,（5）向量,a,，,b,(,b,0)共线 ；,（6）,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,0；,（7）|,a,| ；,范例分析,例1设向量,a,(1，3)，,b,(2，4)，,c,(1，2)，若表示向量4,a,，4,b,2,c,，2(,a,c,），,d,的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量,d,的坐标.,d,(2，6),例2 已知向量 (3，1)， (1，2)，且 ， ，求向量 的坐标.,(11，6),例3 已知向量,a,(2，3)，,b,(4， 3)，求向量,a,在,b,方向上的投影.,例4 设向量,a,与,b,的夹角为，已知,a,b,(2，8)，,a,b,(8，16)，求cos的值.,例5 已知向量,a,(1，2)，,b,(2， 4)，|,c,|= ，若(,a,b,),c,= ，求向量,a,与,c,的,夹角.,120,
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