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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,基础部张守成,第四章,泊松过程,在互不相交的区间上,状态的增量是相,互独立的，有,特征,:,一、齐次泊松过程,1,、,独立增量过程,则称,增量具有平稳性,.,增量,X,(,t,)-,X,(,s,),的分布函数只依赖于,当增量具有平稳性时,是,齐次的,或,时齐的,.,称相应的独立增量过程,特征,:,区间的长度,t-s,而与它的位置无关,.,考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：,(1),自电子管阴极发射的电子到达阳极,;,(2),意外事故或意外差错的发生,;,(3),要求服务的顾客到达服务站,.,2,、,齐次泊松过程的概念,电子到,达阳极、顾客到达服务站等事件会随,时间推移,随机发生在时间轴上的不同时刻,.,一个计数过程一定满足：,(1),N,(,t,),取非负整数值,；,(2),如果,st,|,T,1,=s,=,P,在,(,s,s+t,内没有事件发生,|,T,1,=s,=,P,N,(,s+t,)-,N,(,s,),=,0,|N,(,s,),-N,(0),=,1,=,P,N,(,s+t,)-,N,(,s,)=0,故,表明 服从均值为,1/,的指数分布，且与,T,1,独立,.,(,独立增量过程,),重复上面的推导，可得下面的结论：,结论,:,设,N,(,t,),t,0,是强度为,的泊松过程，则,意义,:,表明在概率意义上过程在任何时刻重新开始，,即泊松过程是,无记忆的,.,(2),等待时间的分布,由于,利用矩母函数容易证明,即,W,n,具有概率密度,二、泊松过程的推广,1,、,非齐次泊松过程,注：,从而,非齐次泊松过程不再具有平稳增量性,.,称,为,累积强度函数,或,均值函数,，,则有,例,1,某路公交车从早晨,5,时到晚上,9,时有车,乘客,流量如下,:,5,时平均乘客为,200,人,/,小时,;,5,时至,8,时,乘客平均到达率线性增加,8,时到达率为,1400,人,/,小时,;,8,时至,18,时保持平均到达率不变,;,18,时到,21,时到达率线性下降,到,21,时为,200,人,/,小时,假定,乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求,(1),7,时至,9,时来站乘车人数的数学期望；,(2),12,时至,14,时有,2000,人,乘车的概率,.,解,设,t,=0,为早晨,5,时,t,=16,为晚上,9,时,则均值函数,7,时至,9,时为,t,(2,4,则由非齐次泊松过程的,性质可得,7,时至,9,时乘车人数的数学期望为,12,时至,14,时有,2000,人来站乘车的概率为,(2),设,N,(,t,),t,0,是强度,的泊松过程,Y,k,k,=1,2,是,独立同分布随机变量序列,且与,N,(,t,),t,0,独立,令,则称为,复合泊松过程,.,例,设,N,(,t,),是在,(0,t,内来到某商店的顾客数,Y,k,是,2,、,复合泊松过程,第,k,个顾客的花费,则 是,(0,t,内的营业额,.,设 是复合泊松过程，则,(1),X,(,t,),t,0,是独立增量过程；,(2),X,(,t,),的特征函数,是事件的到达率,g,Y,(,u,),是随机变量,Y,1,的特征函数；,(3),若 ，则,定理：,例,2,设移民到某地的户数是一个速率为,（每周）的泊松过程,若每户人口,求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差,.,数为独立同分布的随机变量,设,表示 时间内移民到该地的人口数，,可得五周内移民到该地人口数的的期望,解：,是复合泊松过程,将 代入,由,Y,n,的分布律可得,设进入到某超市的人数是一个速率为,（每小时）的泊松过程,若每个人消费,小时内总营业额的期望和方差,.,的金额（元）为独立同分布的随机变量,课堂练习,设,表示 时间内该超市的总营业额，求,3,
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