《建筑力学》第三章平面一般力系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章 平面一般力系,1.理解力矩和力偶的概念,2.会熟练,计算力对点之矩,3.掌握合力矩定理,4.牢固掌握力偶的性质,5.平面力偶系合成的方法及平衡条件,力矩及力偶矩,教学目标：,6、,掌握力的平移定理；,7、了解平面任意力系简化的方法；,8、掌握平面任意力系简化的结果；,9、牢固掌握平面任意力系平衡方程,第一节 力矩的概念及合力矩定理,重 点,1、,力矩和力偶的概念,2、力对点之矩的计算,难 点,1、力对点之矩的计算,一、力对点之矩,1、概念,力可以使刚体移动，也可以使刚体转动。力对刚体的移动效应取决于力的三要素。力对刚体的转动效应取决于什么呢？,力矩力和力臂的乘积,正负号的规定：逆正顺负,力矩的性质,（1）力沿其作用线移动，不改变它对点的矩,（2）当力的作用过矩心时，力矩为零,（3）力对点之矩与矩心位置有关。,单位：,N,m,KNm,d,F,2、合力矩定理平面汇交力系的合,力对平面内任一点之矩等于该力系中,的各分力对该点之矩的代数和,M,A,（R）=M,A,（F,1,）+M,A,（F,2）,=F,1,h/3-F,2,b,=Rcos30,0,h/3-Rsin30,0,b,=146.4KN,直接法在已知力臂的情况下，,用定义式进行计算。,M,O,(R)=M,O,(F,1,)+M,O,(F,2,)+,+M,O,(F,n,）=M,O,（F）,例：,间接法把力分解用合力矩定理,进行计算,计算力矩的方法:,【例3-1】,图3-3所示每lm长挡土墙所受土压力的合力为,，,方向如图所示，求土压力使墙倾覆的力矩。,【解】,土压力,可使挡土墙绕,A,点倾覆，,，,故求土压力,使墙倾覆的力矩，就是求,对,A,点的力矩。由已知尺寸求力臂,d,不方便，但如果将,分解为两分力,和,第二节 力偶及其基本性质,重 点,力偶的基本性质。,1、概念,力偶大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶,力偶矩量度力偶对物体转动效应的一个物理量,F,d 逆正顺负,力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应。,一、力偶及其性质,M=,(1)力偶没有合力，不能用一个力来代替,不能与一个力平衡,力偶不是平衡力系.,力偶在任一轴上投影的代数和,为零,因此,力偶只能用力偶平衡,力偶对刚体只起转动效应.,2、力偶的性质,(2)力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心,位置无关,因此,只要保持m的大小和转向不变,可以任意改变F和d的大小;只要保m的大小和转向不变,力偶可以在其作用面内任意移动和转动。,C,M,C,(F、F,）=Fd,保持力偶矩不变，分别改变力和,力偶臂大小，其作用效果不变,F,F ,F,/ 2,F,/ 2,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意转动，其对刚体的作用效果不变,F,F ,F,F ,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变,F,F ,F,F ,60N,0.4m,0.4m,60N,0.6m,40N,M,=24N.m,力偶的三要素：,力偶的作用平面、转向和力偶矩的大小,力矩,是力使物体绕某点转动效应的度量,力偶矩,是力偶使物体转动效应的度量,二者相同点,：,单位统一,符号规定统一,二者主要区别,：,力矩,随矩心位置的不同而变化。,力偶,使物体转动的效果与所选矩心的位置无关,它完全由力偶矩这个代数量唯一确定。,力偶矩,完全可以描述一个力偶，而,力对点的矩,却不能完全描述一个力。,力矩与力偶的比较,第三节 力的平移,力的平移定理,重 点,难 点,力的平移定理应用,力的平移定理：可以把作用在刚体上点,A,的力,)，这个力偶称为附加力偶(c)。,等效，这三个力又可视作一个作用在点,B,的力,组成的力系与原力,证明：刚体的点,A,作用力,F,(图3-7(a)。在刚体上任取一点,B,，,并在点,B,加上一对平衡力 ，,平行移到刚体上任意一点,B,，但必须同时附加一个力偶，,这个附加力偶的矩等于原来的力 对新作用点,B,的矩。,，令,显然，这三个力,和一个力偶(,显然，附加力偶的矩为,【例3-2】,如图3-8(a)所示，在柱子的,A,点受有吊车梁传来的集中,力,平移到柱轴上,O,点时所应附加的力偶矩,= 100kN。求将这力,，其中,e,=0.4m。,【解】,根据力的平移定理，力,由,A,点平移到,O,点，必须附加一力偶，,负号表示该附加力偶的转向是顺时针的,第四节 平面力偶系的合成与平衡条件,平面力偶系平衡条件,重 点,难 点,平面力偶系平衡条件的灵活应用,一、平面力偶系的合成,，,分别将作用在点,A,和,B,的力合成,设在同一平面内有两个力偶,和,它们的力偶臂各为,d,1,和,d,2,这两个力偶的矩分别为,M,1和,M,2,求它们的合成结果,解：,合力矩：,二平面力偶系的平衡条件,由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即,【例题3-3】,如图3-10(a)所示的简支梁,AB,，受一力偶的作用。,已知力偶,，梁长,，梁的自重不计。,求梁,A,、,B,支座处的反力。,【,解,】 取梁,AB,为研究对象，梁,AB,上作用一集中力偶,M,且保持平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则,A,、,B,处的支座反力必形成一对与已知力偶,M,反向的力偶,又,B,处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶,M,反向的,力偶，,B,处的支座反力,方向只能斜向上，A处的支座反力,的方向斜向下，作用线与,平行，且有,由平衡条件,，得：,解之得：,(方向如图所示),第五节 平面一般力系的简化与平衡条件,重 点,1、平面任意力系简化的结果；,2、平面任意力系平衡方程的形式。,难 点,1、,平面任意力系简化的结果,。,2、,平面任意力系简化的平衡方程,概述,平面任意力系是指各力的作用线在同一平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面一般力系,一. 平面任意力系向作用面内一点简化,F,1,F,2,F,3,O,y,x,O,F,1,/,M,1,F,2,/,M,2,F,3,/,M,3,=,x,O,R,/,M,o,y,=,平面任意力系,平面汇交力系,平面力偶系,R,=F=F,M,0,=,M,0,=,M,0,(F),1、平面任意力系向O点简化的结果：,合力,R,原力系的,主矢,，通过O点。,合力偶矩 M,0,原力系对于O点的,主矩,x,O,M,o,y,结论：,平面一般力系向其作用平面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的,主矢,，作用于简化中心,等于原力系各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的,主矩,。等于原力系中各力对简化中心之矩之和.,注意：,主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩,。,主矢、主矩共同作用等效于原力系,M,0,=,M,0,=,M,0,(F,1,)+M,0,(F,2,)+,M,0,(F,n,)=,M,0,(F),主矢的解析表达法,同理：,2、对简化结果进行讨论,（1）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形,R,=0，,M,0,0,此时原力系只与一个力偶等效，这个力偶就是原力系的合力偶,（2）平面住意力系简化结果是一个力的情形,R,0，,M,0,=0,此时原力系只与一个力等效，这个力就是原力系的合力,R,0,，,M,0,0,由力的等效平移的逆过程可知，这个力和力偶可以合成为一个合力,情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果,分类 主矢,R,主矩,M,O,（与简化中心无关）,3,R,0,M,O,=0 合力,R=R,，作用线过O点。,2,R,=0,M,O,0 一个合力偶，,M,=,M,O,。,1,R,=0,M,O,=0 平衡状态（力系对物体的移动,和转动作用效果均为零）。,4,R,0,M,O,0 一个合力，其大小为,R=R,，,作用线到O点的距离为h=,M,O,/R,R,在O点哪一边，由M,O,符号决定,平面力系简化的最终结果，只有,三种可能,：一个,力,；一个,力偶,；或为,平衡力系,。,（3）、平面任意力系平衡的情形,R=0 ，M,0,=0,则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论,内容平面一般力系的,合力对平面内任一点之,矩等于力系中各力对该,点之矩的代数和,二、平面任意力系的合力矩定理,，,，,，,，,例题3-4】,将图3-14(a)所示平面一般力系向,O,点简化，求其所得的主矢及主矩和力系合力的大小、方向及合力与,O,点的距离,d,，并在图上画出合力之作用线。图中方格每格边长为5mm,【,解,】 （1）向,O,点简化各力在,x,轴上的投影为：,各力在,x,轴上的投影为：,主矢的大小为,主矢与,x,轴的夹角为,主矩的大小为,（2）力系的合力,力系的合力大小与主矢的大小相等，方向与主矢平行。各力的,作用点到O点的距离为,平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即：R,=0 M,0,=0,M,0,=M,0,=M,0,（F）,2、平衡方程,得：,平衡方程的基本形式,称为平面任意力系基本形式的平衡方程。因方程中仅含有一个力矩方程，故又称为,一矩式平衡方程,。它表明平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系中所有各力在力系作用面内两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对于作用面内任一点的力矩的代数和等于零。,三、平面任意力系平衡条件及平衡方程,由 R=,1、平衡条件,平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如下两种形式 。,二力矩式：,F,X,=0,M,A,=0 条件：A、B连线不能垂直于X轴,M,B,=0,三力矩式： M,A,=0,M,B,=0 条件：A、B、C不能在一条直线上,M,C,=0,无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，,平面任意力系的平衡方程只能求解三未知量,。,用平衡方程求解平衡问题的步骤：,1、选研究对象，并作其受力图,2、列平衡方程,3、解方程,4、校核,用平衡方程求解平衡问题技巧：,1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上；,2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上；,3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量,【例题3-5】,梁,AB,只在一端是固定端支座，在其他地方不存在任何约束，这样的梁称为悬臂梁。梁,AB,承受荷载作用，如图3-15(a)所示。已知,，,，梁的自重不计，,求支座,A,处的反力。,【,解,】 （1）取梁AB为研究对象，作受力图如图b所示。,（2）梁上的均布荷载可先合成为一个集中力,，其作用点在AC端的中点处，方向竖直向下,如图c所示。,(3)设坐标系,如图3-15(c)所示，梁AB在荷载作用下保持平衡，由平衡条件得,a,b,c,，,，,，,，,（方向向左）,（方向向上）,，,（转向为逆时针方向）,校核：,【例题3-6】,简支梁,AB,承受荷载作用，如图3-16(a)所示。已知梁的自重为,，作用在梁的中点,C,处，在梁的,AC,段作用有,均布荷载,q,在梁的,BC,段上受力偶作用，力偶矩,，求,A,、,B,处的支座反力。,【,解,】 （1）取梁,AB,为研究对象，作受力图如图b所示。,(2)梁,AB,在荷载作用下保持平衡，由平衡条件得：,，,，,，,解之得,，,，,a,b,（3）校核：,【例题3-7】,外伸梁,AB,受荷载作用如图a所示。已知均布荷载,，力偶矩,，集中力,，试求,A,、,B,处的支座反力。,【,解,】 （1）取梁,AB,为研究对象，作受力图，如图(b)所示。,(2)梁,AB,在荷载作用下保持平衡，由平衡条件得：,，,，,a,b,，,：,解之得,（方向向上），,(方向向下),（3）校核,【例题3-8】,如图a所示所示刚架（杆件都是由直杆组成，且杆件之间的结点不全为铰结点的结构称为刚架）,ABCD,，承受线均布荷载,q,和集中力,作用，试求,A,、,B,处的支座反力。,【,解,】（1）取刚架,ABCD,为研究对象，作受力图如图b所示。,(2) 刚架,ABCD,在荷载作用下保持平衡，由平衡条件得：,，,，,，,解之得,（方向向左），,（方向向上），,(方向向上),（3）校核：,第六节 平面平行力系的平衡条件,平面平行力系的平衡方程,注：力系不平行,y,轴（或,x,轴）,第七节 物体系统的平衡问题,一、物系平衡问题,物体系统（简称物系）：由多个物体通过约束而组合在一起的结构（或机构）。,物体系统平衡时，组成物系的每一个构件也必为平衡状态，在一般情况下，只单独以整体或只以系统内的某一部分为研究对象，都不能求出全部的未知量。在此情况下，一般是选取多个研究对象，逐步求解。,求解物体系统的平衡问题，就是计算出物体系统的内、外约束反力。解决问题的关键在于恰当地选取研究对象，一般有两种选取的方法：,1.先取整个物体系统作为研究对象，求得某些未知量；再取其中某部分物体(一个物体或几个物体的组合)作为研究对象，求出其他未知量。,2.先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分物体或整体作为研究对象，逐步求得所有的未知量。,，,【例题3-9】,组合梁受荷载如图3-22(a)所示。已知,求,A,、,B,、,D,处的支座反力。,【解】 组合梁由两段,AC、CD,在,C,处用铰连接，在,A,、,C,、,D,三处各有三个支座约,(1)取梁,CD,段为研究对象，如图(b)所示，由平衡条件得,，,，,，,，,（方向向上），,(方向向上),解之得,、,、,(2)取梁,AC,段为研究对象，如图3-22(c)所示，将,反向加载给梁,AC,段， 则作用在,C,处的,由平衡条件得,，,，,，,，,解之得,（方向向上），,(方向向上),(3)校核 取梁整体为研究对象，如图d所示，由平衡条件得,，,，,【例题3-10】,钢筋混凝土三铰刚架受荷载作用，如图a所示，已知,，求,A,、,B,处的支座反力。,【解】 三铰拱由左、右两半拱组成。分别分析整个三铰拱和左、右两半拱的受力，画出它们的受力图，如图(b)、(c)、(d)所示,(1)取整个三铰拱为研究对象图(b)，由平衡条件得,，,，,，,解之得,（方向向上），,(方向向上)，,(2)取左半拱为研究对象，如图(c)所示，由平衡条件得,解之得,（方向向右），,(方向向左),(3)校核 取左半拱为研究对象，如图d所示，由平衡条件得,体系统平衡问题的解题特点归纳如下：,1.适当选取研究对象,如整个系统的外约束反力未知量不超过三个，或者虽然超过三个但不拆开也能求出一部分未知量时，可先选择整个系统为研究对象。,如整个系统的外约束反力未知量超过三个，必须拆开才能求出全部未知量时，通常先选择受力情形最简单的某一部分(一个物体或几个物体)作为研究对象，且最好这个研究对象所包含的未知量个数不超过此研究对象所受的力系的独立平衡方程的数目。需要将系统拆开时，要在各个物体连接处拆开，而不应将物体或杆件切断，但对二力杆可以切断。,选取研究对象的具体方法是：先分析整个系统及系统内各个物体的受力情况，画出它们的受力图，然后选取研究对象。,2.画受力图,画出研究对象所受的全部外力，不画研究对象中各物体之间相互作用的内力。两个物体间相互作用的力要符合作用与反作用关系。,