《理论力学》第九章质点动力学

,HOHAI UNIVERSITY,ENGINEERING MECHANICS,质点动力学,第九章,静力学：,研究物体在力系作用下的平衡问题,运动学,：从几何角度研究物体的运动,已知作用于质点的力求质点的运动,动力学,：研究作用在物体上的,力,与物体,运动,之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规律,求解两类问题,已知质点的运动求质点所受的力,，,但如果力系不平衡呢？物体将怎样运动？为什么会这样运动？,在牛顿定律的基础上,9-1 动力学基本定律,单位制,一、动力学基本定律（牛顿运动定律）,第一定律：,任何,物体,(,质点、质点系、刚体),如不受外力作用，将保持静止或匀速直线运动状态。,惯性定律,质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力的大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,第二定律：,力与加速度的关系定律,第三定律：,力的作用与反作用定律,两物体间相互作用的力同时存在，等量、反向、共线，分别作用在两个物体上。,第二定律（用于单个质点和惯性坐标系）,质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力的大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,第二定律（只适用于单个质点）：,是力与加速度的关系定律,质量是物体惯性的度量,F,是作用在,质点,上,所有力的,合力,质量与重量不同,，,质量不变，重量可变,牛顿定律适用范围,：,惯性参考系 物体相对惯性参考系的运动称为绝对运动,适用于,牛顿定律,的参考系称为,惯性参考系（固定坐标系或静系）,。绝大多数工程问题取地球的坐标系为惯性参考系。,凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系也是惯性参考系,基本量：长度（,m,）,时间（,s,）,质量（,kg,）,量 纲：长度,L,时间,T,质量,M,二、单位制和量纲,9-1 动力学基本定律,单位制,单位制：国际单位制（SI）,矢量表示法:,直角坐标表示法:,9-2,质点运动微分方程,自然表示法:,9-2 质点运动微分方程,极坐标表示法:,9-2 质点运动微分方程,r,q,O,M,x,a,r,a,a,质点动力学的两类问题,：,1.已知质点的运动，求作用于质点的力,2.已知作用于质点的力，求质点的运动,已知质点的,r,(,t,),或,v,(,t,),，通过如下微分方程求解：,这类问题归结为,求解运动微分方程,。对于这类问题，除了作用于质点的力外，,还必须知道质点运动的初始条件，,才能确定质点的运动。,积分求解、变量分离,混合问题：,求质点的运动规律与约束力,质点动力学第一类问题（,已知运动求力的问题,）关键是求解质点的,加速度,。质点的加速度可用下述方法之一求解,直角坐标表示方法,牵连运动为转动时点的合成运动,点作圆周运动或点在定轴转动的刚体上,点在作平面运动的刚体上,1）力是常量或是时间的函数,+初始条件,2）力是位移,x,的函数（如弹簧力）,+初始条件,3）力是速度,v,的函数（如跳伞）,2.,第二类问题：,已知作用于质点的力，求质点的运动规律,+初始条件,例1,质量,m,的小球系于长为,l,的绳上，绳与铅直成,角，小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和绳中的张力。,解：,1.以小球为研究对象,2.受力分析,3.运动分析,4.动力学方程,得：,（采用自然法求解）,法向,切向,例2,混合为题,质量,m,的小球从半径为,r,的固定光滑球面顶部无初速地落下，试计算图示时刻球面对小球的,法向力,。,解：,1.以小球为研究对象,2.受力分析,3.运动分析,4.动力学方程,M,M,0,r,F,N,为约束力，,即法向力,法向,切向,例2,解：,质量,m,的小球从半径为,r,的固定光滑球面顶部无初速地落下，试计算图示时刻球面对小球的,法向力,。,M,M,0,r,（1）,（2）,为了求法向力,F,N,必须求出,由（2）式可得,M,M,0,r,M,M,O,r,+初始条件,M,M,O,r,O,例 质量,m,的小球在半径为,r,的光滑半球面中运动，已知在最低位置时其速度为,v,0,，试计算图示时刻球面对小球的法向力。,解,：,1.以小球为研究对象,2.受力分析,3.运动分析,4.动力学方程,+初始条件,第二式要积分所以加初始条件,解：,一边长为,a,的正方体重,W,，放置于比重为,的水中，设该物体从其平衡位置下沉一微小距离,x,0,，此时,v,0,=0,，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。,W,h,x,平衡位置,W,F,h+x,任意位置,其中,：,代入上式，有：,例3,解：,W,h,x,平衡位置,W,F,h+x,任意位置,令：,得：,可见，物体作简谐振动，振幅为,x,0,，周期T为,例3,一边长为,a,的正方体重,W,，放置于比重为,的水中，设该物体从其平衡位置下沉一微小距离,x,0,，此时,v,0,=0,，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。,O,r,0,M,r,例4,解,：,一质点,M,沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速,转动，初瞬时质点静止于导叶内端,r,=,r,0,处。试求质点沿导叶的运动方程。,采用极坐标表示法简便。,将,代入(1)式，得：,得：,O,r,0,M,r,例4,解：,将(3)代入(2)式，,得：,一质点,M,沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速,转动，初瞬时质点静止于导叶内端,r,=,r,0,处。试求质点沿导叶的运动方程。,采用极坐标表示法简便。,O,r,0,M,r,例4,解,：,采用极坐标表示法简便,。,得：,取,0,=0，则,t,将(3)改写成,：,一质点,M,沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速,转动，初瞬时质点静止于导叶内端,r,=,r,0,处。试求质点沿导叶的运动方程。,解：,1.以小球为研究对象,（确定合适的坐标架）,2.受力分析,3.运动分析,4.动力学方程,物体自高处以水平速度,v,0,抛出，空气阻力 ，与速度方向相反，求物体的运动方程。,初始条件,练习：,解,：,初始条件,练习：,物体自高处以水平速度,v,0,抛出，空气阻力 ，与速度方向相反，求物体的运动方程。,