随机变量的联合概率分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 多元随机变量的分布,本章主要学习内容,一、随机变量的联合概率分布,二、随机变量的独立性,三、常见随机变量的联合分布,四、随机向量的函数的分布,第一节、随机变量的联合概率分布,一、离散型随机变量的联合分布,1、,联合分布,设随机变量,X,和,Y,是离散型随机变量，其一切,可能值相应为,x,i,和,y,i,随机变量,X,和,Y,的联合概率分布，,亦称做随机向量(,X,Y,),的概率分布，表示为：,其中,离散型随机变量,X,和,Y,的联合概率分布常用列联表表,示（表3.1）,表3.1 离散型随机变量,X,和,Y,的联合概率分布,2、边缘概率分布,凡是可以由联合分布得到或决定的概率,分布，统称为联合分布的,边缘概率分布,随机变量,X,的概,率分布和,Y,的概率分布，完全决定于,X,和,Y,的联合分布：,3、条件概率分布,由变量,X,和,Y,的联合分布可见，对于给,定的,x,k,，若,P,X,=,x,k,0，,则,称做,Y,在,X,=,x,k,条件下的,条件分布,，或,Y,关于,X,=,x,k,的条件分,布条件分布具有（无条件）概率分布的一切性质,4、多元离散型联合分布,读者自己容易把二元情形推广到,多个离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分,布,n,个随机变量的联合分布的边缘分布，包括任意,m,(1,m,n,),个变量的概率分布和联合概率分布,例,3.3,假设随机变量,X,和,Y,的联合概率分布为,分别求,X,和,Y,的概率分布,求,Y,关于,X,的条件概率分布,解,易见,X,有0,1,2等3个可能值，而,Y,有1,2等两个可能值,(2)求,Y,关于,X,的条件概率分布,Y,关于,X,=0,的条件概率分布：,Y,关于,X,=1,的条件概率分布：,Y,关于,X,=2,的条件概率分布：,二、连续型随机变量的联合密度,1、,联合密度,对于二连续型变量,X,和,Y,，(,X,Y,),可视为平面,上的点对于平面上的任意区域,G,，,点(,X,Y,),属于,G,的概率,通过一非负二元函数,f,(,x,y,),的积分表示：,特别，若,G,=(,x,y,):,axb,cy0，,称,为,Y,关于,X=x,的,条件密度,同样定义,X,关于,Y=y,的条件密度,f,1|2,(,x|y,),显然,称做,密度乘法公式,例,3.4,假设 是原点为圆心、半径,为,r,的圆（图3.1）；已知,X,和,Y,的联合密度为,f,(,x,y,)，,在,圆,G,上为常数，在圆,G,外,f,(,x,y,)=0,试求，,(1)联合密度,f,(,x,y,)，,(2),f,(,x,y,),的边缘密度，即,X,和,Y,的密度,f,1,(,x,),和,f,2,(,y,)；,(3),Y,关于,X=x,的条件密度,f,2|1,(,y|x,),圆 积 见,这时，称 为,二元均匀密度,，,称,服从,二元均匀分布,(2),X,和,Y,的密度,f,1,(,x,),和,f,2,(,y,),当,|,x,|,r,时，显然,f,1,(,x,),=0,设,|,x,|,r,，则,X,的密度,于是，得,X,的概率密度,同理可得,Y,的联合概率密度,(3),对任意,x,只要,f,1,(,x,),0,，则,Y,关于,X=x,的条件密度为,注意，,X,和,Y,的分布不是均匀分布，它们之中一个关,于另一个的条件分布都是均匀分布,4,、,多元联合密度,类似地可以引进多个连续型随机变量,的联合密度、边缘密度和条件密度因为很容易由二元,密度,f,(,x,1,x,2,),推广到多元密度,f,(,x,1,x,2,x,n,),故留给读者自己,完成注意，,n,(,n,2),个随机变量的联合密度的边缘密度，,包括任意,m,(1,m,),个变量的概率密度或联合密度,三、随机变量的联合分布函数,1,、,联合分布函数和边缘分布函数,(1),称,r,元函数,为随机向量,X=,(,X,1,X,2,X,r,),的分布函数,或随机变量,X,1,X,2,X,r,的,联合分布函数,(2),随机变量,X,1,X,2,X,r,中，各变量的分布函数，以及其,中任意,m,个变量的联合分布函数,F,(,X,1,X,2,X,r,),，统称为,联合分布函数的,边缘分布函数,.,2,、联合分布函数的性质,以随机变量,X,和,Y,的联合分布,函数,F,(,x,y,),为例基于一元分布函数的性质和二元分布,函数的定义，不难理解,F,(,x,y,),的如下性质,(1)0,F,(,x,y,)1,，且对于每一自变量单调不减,(2),对于每一自变量，,F,(,x,y,),右连续,(4),对于任意实数,a,b,c,d,，有（图,3.2,）,x,x,b,y,b,a,y,a,O,d,c,O,图,3.2,二元分布函数示意图,b,(,a,),(,b,),(5),F,(,x,y,),完全决定,X,和,Y,的分布函数,F,1,(,x,),和,F,2,(,y,),（反之未必）：,(6),连续型随机变量,X,和,Y,的联合分布函数,F,(,x,y,),，可以,表示为：,其中,f,(,x,y,),是,X,和,Y,的联合密度；对于几乎一切,(,x,y,),，有,例,3.7,假设随机变量,X,和,Y,的联合概率密度为,(1),求,X,和,Y,的联合分布函数,F,(,x,y,),；,(2),求,X,和,Y,的分布函数,F,1,(,x,),和,F,2,(,y,),解,(1),当,x,0,或,y,0,时显然,F,(,x,y,)=0,；当,x,1,或,y,1,时显然,F,(,x,y,)=1,；对于,0,x,1,0,y,1,，,于是,(2),当,x,1,时，,F,1,(,x,),=1,；现在设,0,x,1,，有,于是，,X,的分布函数,类似可得,F,2,(y),因此，有,例,3.8,设随机变量,X,和,Y,的联合分布函数为,求随机变量,X,和,Y,的分布函数,F,1,(,x,),和,F,2,(,y,),解：随机变量,X,和,Y,的分布函数,F,1,(,x,),和,F,2,(,y,),是,F,(,x,y,),的边缘分布函数：,