数学物理方程-第1章

单击此处编辑母版标题样式,数学物理方程,西北工业大学,2012年10月,许和勇,友谊校区 翼型、叶栅国防科技重点实验室 中楼217室,Tel：,定义,:,主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术,科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分,方程、微分积分方程等),例如,特点,:,反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于,空间变量的导数之间的制约关系。,范畴,:,连续介质力学,、,电磁学,、,量子力学,等方面的基,本方程都属于数学物理方程的范围。,数学物理方程,“一切科学的理论，总是,从实践中来,，又回,到实践中去,，接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”,力学问题,弦线振动问题,流体运动、弹性体振动、,热传导、,电磁作用,、,原子核-电子作用、化学反应,偏微分方程,（基本规律）,偏微分方程,（基本规律）,求解,数学物理方程,定解问题,预测自然现象变化,（气象预报等）,各种工程设计,（机械强度计算等）,数学,数学物理方程,偏微分方程,理论,偏微分,方程理论,新课题、新方法,自然现象,实际问题,历史悠久,对象、,内容、,方法,纯粹数学,泛函分析,复变函数,微分几何,计算数学,多样,复杂,解决问题的工具,纯粹数学、分支,自然科学、技术科学,数学物理方程,分支,课 程 概 览,二、,热传导方程,（,抛物型,）,三、,调和方程,（,椭圆型,）,四、二阶方程的分类总结,五、一阶偏微分方程组,七、偏微分方程的数值解,一、,波动方程,（,双曲型,）,1.,方程导出、定解条件,2.初值问题求解,3.初边值问题求解,第一章 波动方程,物理背景,：波的传播和弹性体振动。,1-1,一维波动方程的导出、定解条件,首先，考察下面的物理问题：,给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为,l,，,它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。,基本假设,：,1.,弦是,均匀的,，弦的截面直径与长度相比可以忽略。,弦可以视为一条曲线，线密度为常数。,2.,弦在某平面内作,微小横振动,。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。,基本规律,：,牛顿第二定律,F=m*a,冲量定理,F,t=m*(v1-v2),3.,弦是,柔软的,，它在形变时不抵抗弯曲。,弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形,与张力的关系服从虎克定律。,F,t=m*a*t,用,u(x,t),表示弦点在时刻,t,沿垂直于,x,轴的位移。,由基本假设,2,可知，,与,1,相比可以忽略不计，所以,因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为,张力大小与时间无关,T(x,t),T(x),（,2,）,由于弦只在,x,轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即,由基本假设,2,可知，,，所以,因此，弦的,张力大小与空间变量,x,无关,，,可以把弦线的张力,T(x),在,x,轴方向的分量看成,常数,。,（,1,）,任取一弦段,(x,x+x),，,它的弧长为,（,3,）,对于图中选取的,弦段而言，张力在,x,轴垂直,方向上的合力为：,在时间段,(t,t+t),内该,合力产生的冲量,为：,（,4,）,另一方面，在在时间段,(t,t+t),内,弦段,(x,x+x),的,动量变化,为：,（,5,）,因此，根据,冲量定理,，得到：,从而有,进一步由,t,，,x,的任意性,，,有,假定有垂直于,x,轴,方向的外力存在,，并,设其,线密度为,F(x,t),，,则,弦段,(x,x+x),上的外力为：,它在时间段,(t,t+t),内的冲量为：,于是有：,进一步由,t,，,x,的任意性,，,有下面的,弦振动方程,（,一维波动方程,）：,二维波动方程（如薄膜振动）,三维波动方程（如电磁波,、,声波的传播）,弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数,u(x,t),所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。,在前面的推导中，弦的两端被固定在,x=0,和,x=l,两点，即,u(0,t)=0,，,u(l,t)=0,，,这两个等式称为,边界条件,。此外，设弦在初始时刻,t=0,时的位置和速度为,这两个等式称为,初始条件,。边界条件和初始条件总称为,定解条件,。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。,2.定解条件,对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：,要在区域,上（见右上图）求上述定解问题的解，就是,要求这样的连续函数,u(x,t),，它在区域,00,中满足波动方程,(1.19),；在,x,轴上的区间,0,l,上满足初始条件,(1.20),；并在边界,x=0,和,x=l,上满足边界条件,(1.21),和,(1.22),。,一般称形如,(1.21),和,(1.22),的边界条件为,第一类边界条件,，也叫,狄利克雷,（,Dirichlet,）边界条件。,弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：,（,a,）设弦的一端（,x=0,）处于自由状态，即可以在垂直于,x,轴的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在边界右端的张力的垂直方向分量是,于是边界处应有,考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为,（,b,）弦的一端（,x=l,）处于固定在伸缩符合胡克定律的弹性支承上，如果支承的初始位置为（,u=0,），那么在端点的,u,值表示支承的伸长量，于是,这种边界条件称为,第二类边界条件,，又称,诺依曼,（,Neumann,）边界条件,数学上，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为,（,第三类边界条件,）,偏微分方程的分类,分类依据,：,阶数,、,线性性质,、,齐次性,。,阶,：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数,线性方程,：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。,方程（,1,）,（,2,）,（,3,）,拟线性方程,：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。,方程（,4,）,（,5,）,完全非线性方程,：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。,方程（,6,）,齐次性,：以方程（,1,）为例，函数,f(x,y,z,t),与未知函,数无关（自由项），若该项恒为零，则该,方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。,边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。,3.,定解问题适定性概念,解的,存在性,：定解问题的解是否一定存在？,解的,唯一性,：定解问题的解是否只有一个？,解的,稳定性,：当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小的变化？,定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的,适定性,。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。,除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。,定解问题的提法是否合适？,1-2,达朗贝尔（,dAlembert,）公式、波的传播,1.,叠加原理,从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。,在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用,线性方程,和,线性定解条件,描述的物理现象来说，都是成立的。,例如：若,u,1,(x,t),是方程,的解，而,u,2,(x,t),是方程,的解，则对于任意的常数,C,1,、,C,2,，函数,是方程,的解。,典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。,2.,弦振动方程的达朗贝尔解法,为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在,较短时间内,且,距离边界较远,的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：,在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为,初值问题,(,也称,柯西（,Cauchy,）问题,）。相应地，前一节中的定解问题,(1.19)(1.22),由于既有初始条件，又有边界条件，故称为,初边值问题,或,混合问题,。,方程,(2.5),中的自由项,f(x,t),是由于外力作用产生的，因此方程,(2.5),中,f(x,t),恒为零,的情况对应于自由振动；,f(x,t),不为零,的情况对应于强迫振动。,下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即,若,u,1,(x,t),和,u,2,(x,t),分别是下述初值问题,和,的解，那么,u=u,1,(x,t),+,u,2,(x,t),就一定是原初值问题,(2.5),、,(2.6),的解。这样求解,初值问题,(2.5),、,(2.6),就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题,(,I,),和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题,(,II,),单独初始振动状态对振动过程的影响。,单独考虑外力因素对振动过程的影响。,首先，我们考察代表自由振动情况的初值问题,(,I,),，它可以通过自变量变换的方法求解。引如新自变量：,=x-at,，,=x+at,。利用复合函数求导的法则，有,类似地，,从而，方程,(2.7),就化为 ，这个方程可以直接求解。把它关于,积分一次，再关于,积分一次，就可以得到它的通解为,u(,)=F(,),+,G(,),，,其中，,F,和,G,是任意两个可微分的单变量函数。代回原来的自变量，方程,(2.7),的通解表示为,u(x,t)=F(x-at),+,G(x+at),（,2.14,）。,利用这个通解表达式，就可以利用初始条件,(2.8),来决定函数,F,和,G,，进而求出初值问题,(,I,),的解。把上述通解表达式代入,初始条件,(2.8),，得到：,(2.16),式是一个简单的常微分方程，求解它得到,由,(2.15),和,(2.17),式联立求解可以得出函数,F,和,G,把它们代入方程,(2.7),的,通解表达式,(2.14),就得到了,初值问题,(,I,),的解,这个公式,(2.19),称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题,(,I,),有解，则解一定可以根据初始条件由,达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是,唯一,的。,同时，若函数,(x),在求解区域内具有二阶连续偏导数，,(x),在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式,(2.19),给出的的确是初值问题,(,I,),的解。,存在性,另外，,初值问题,(,I,),的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从,达朗贝尔公式中看出。,稳定性,定理2.1,设,，那么初值问题(2.7),(2.8)存在唯一的,解,u,(,x,t,)，它由达朗贝尔公式(2.19)给出。,如右图所示，在,t=0,时，,(x,0)=F(x),，它对应于初始振动状态（弦在初始时刻各点位移状态）。经过时刻,t,0,后，,(x,t,0,)=F(x-at,0,),，在,(x,u),平面上，它相当于原来的图形向右平移了一段距离,at,0,。这说明振动的波形以常速度,a,向右传播。因此，齐次波动方程的形如,F(x-at),的解所描述的运动规律称为,右传播波,，同样形如,G(x+at),的解称为,左传播波,。并且，我们知道了方程,(2.5),中的常数,a,实际上表示了波动的,传播速度,。（行波法）,3.,传播波,由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程,的解可以表示为形如,F(x-at)