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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5-5 振动的分解 傅立叶变换,一、周期函数的频谱分析与傅立叶变换,式中：,A,0,A,k,B,k,等称为傅立叶系数,在下列三角函数系中，,任意两个不同函数的乘积在区间,上的积分为 0 即,1, , ,(5.53),周期性函数,f,(t),在正交的三角函数系中展开式：,利用欧拉公式,复数形式的付里叶变换,0,1,3,5,7,0,t,x,(,a),矩形波,t,0,图 56 离散谱,1) 谐频是基频的整数倍,2） 若出现分数基频 如,这是一种非线性效应，称之为倍周期分岔，,预示着混沌现象到来,(,c),锯齿波,0,1 2 3 4 5 6 7,等等，,0,t,x,(,b),三角波,0,1,3,5,7,如单个脉冲（非周期）,f,(t),f,(,t,),的,傅立叶变换,f,(,t,),的,傅立叶积分,非周期函数的频谱是连续谱,二、,非周期函数,的频谱分析与傅立叶变换,0,t,阻尼振动,0,连续谱,两振子运动方程,令,5-6 两个自由度的振动,一、简正模,耦合振子,得,即,可得角频率,令,(5.65),1）两个振子以,相同的振幅,和,相同的相位,振动，,中间连接弹簧，始终保持原长不变,2）两个振子以,相同的振幅,和,相反的相位,振动,中间连接弹簧, 形变为每个弹簧的两倍,简正模,简正频率,二、简正模的叠加,上面两式变为,令,称为简正坐标,简正坐标,:,例4-4: 单摆 (,p131),(,1) 单摆的势能曲线;,(2) 对于,H=E/,mgl,=0.1, 1, 2, 3.5,诸值,求角速度和角位移之间的关系曲线;,(3) 求小振幅时的势能和恢复力.,解:,(1) 单摆的重力势能为:,动能为:,5-7 非线性振动 混沌现象,(,2),相图,相轨,H=2,1,0.1,H=0.1,相轨接近于一个椭圆,H=1,相轨封闭, 两端略尖,H=3.5,相轨分裂成两支, 不再闭合,H=2,相轨是分界线,(,3)初始时刻,t,=0,时,鞍点:,G,和,G,- 不稳定的平衡点,混沌,现象,当,确定性方程自身演化出来的内在随机性,（,相图中出现分支点，该处力学系统行为不确定）,分岔,:,当控制参量,越过临界值,时, 一个平衡状态失稳, 产生,两个(或多个)平衡状态。,倒摆,k/,mgl,1,k/,mgl,1,
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