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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,17.5,反证法,1,学习目标,1.掌握反证法的证明步骤。,2.能用反证法进行推理。,3.学会反面说理的方法，培养从正反两方面进行说理的能力。,学习重点,反证法的证明步骤,学习难点,能用反证法进行推理证明,2,故事说一个少妇抱着小孩回娘家，路过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中用 钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三个大瓜到县衙作证。张飞升堂审讯，问恶 少，恶少说少妇偷他的瓜，有人证物证；问少妇，少妇说恶少调戏她。张飞 “想了一想”，佯断少妇偷瓜，命恶少先把三个大瓜 抱回去。恶少左抱右抱，怎么也抱不起来。张飞虎眉一 竖，拍案而起，痛斥恶少,你堂堂男子汉，三个瓜都抱不动，她是弱女子， 又抱小孩，怎能偷你三个大瓜？分明是你调戏。,经过审问，果然不错。,张飞是怎样证明少妇无罪的呢,?,他运用了怎样的推理方法,?,张飞断案,3,假设,“少妇偷瓜”,少妇同时要抱小孩和三个瓜,与,“恶少,无法抱动三个瓜,”,产生矛盾,假设,“少妇偷瓜”,不成立,所以,“,少妇没有偷瓜,”,是正确的,张飞推理方法是,:,4,从前有个聪明的孩子叫王戎。他,7,岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子,.,小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,.,有人问王戎为什么，,王戎回答说,:“,树在道边而多子,此必苦李,.”,小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李,.,王戎是怎样知道李子是苦的呢,?,他运用了怎样的推理方法,?,5,假设,“李子甜”,树在道边则李子少,与已知条件,“树在道边而多子”,产生矛盾,假设,“李子甜”,不成立,所以,“,树在道边而多子,此必为苦李,”,是正确的,王戎推理方法是,:,6,身边的例子,妈妈,:,小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游,.,小华,:,不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢,!,上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么,?,小芳全家没外出旅游,.,如何推断该命题的正确性的,?,7,老师的困惑,：,一个三角形中不可能有两个钝角。,一个三角形中最多有一个直角。,还有很多呢！,8,证明：一个三角形中不可能有两个钝角。,已知：,ABC,。,求证：三角形中不可能有两个钝角,。,C,B,A,证明：假设,ABC,有两个钝角，,不妨设,A,和,B,都是钝角。, ,A+,B 180 ,A+,B+ C 180 ,这与“三角形的内角和是,180 ,”相矛盾，,所以，我们假设三角形中可以有两个钝角是错误的，因此一个三角形中不可能有两个钝角。,谁能帮老师解决,9,“一个三角形中最多有一个直角”你能证明它吗？,已知:,ABC,求证：在ABC中，如果它含有直角，那么它只有一个直角。,A,B,C,证明：假设,ABC中有两个（或三个）直角，设A=B=90,A+B=90,A+B+C,180,这与“三角形的内角和等于180”相矛盾。,因此，三角形有两个（或三个）直角的假设是不成立的。,所以，如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角。,10,过同一直线上的三点不能作圆,.,已知：点,A,、,B,、,C,三点在直线,L,上,.,求证：过,A,、,B,、,C,三点不能作圆,.,设这个圆的圆心为,P,，那么点,P,既在线段,AB,的垂直平分线,L,1,上，又在线段,BC,的垂直平分线,L,2,上，即点,P,为,L,1,与,L,2,的交点,.,而这与我们以前学过的,“,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。假设不成立。,所以，,过同一直线上的三点不能作圆。,证明：,假设过,A,、,B,、,C,三点可以作一个圆。,11,用反证法证明（填空）,:,在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于,60.,这与,_,相矛盾,.,所以,_,不成立，所求证的结论成立,.,已知,:,A,，,B,，,C,是,ABC,的内角,.,求证,:,A,，,B,，,C,中至少有一个角大 于,或等于,60.,证明,:,假设所求证的结论不成立，即,A,_,60,，,B,_,60,，,C,_,60,则,A+B+C 180.,三角形三个内角的和等于,180,假设,试一试,12,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l,1,l,2,l,3,在同一平面内,且l,1,l,2,l,3,与l,1,相交于点P.,求证:,l,3,与l,2,相交.,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与,“,_ _,”,矛盾.,所以,假设不成立,即求证的命题正确.,l,1,l,2,l,3,P,l,3,与l,2,不相交.,l,3,l,2,l,1,l,2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l,2,外一点P,有,两条直线,和l,2,平行,13,用反证法证明平行线的性质定理一：,两条平行线被第三条直线所截同位角相等,已知：如图直线AB,CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H.,1和,2是同位角。,求证：,1=,2,A,B,C,D,E,G,H,F,1,2,14,两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。,已知,:,如图，只想,AB CD,，直线,EF,分别于直线,AB,CD,交于点,G,H,1,和,2,是同位角。,求证： ,1=,2,。,证明：假设,1 ,2,。,过点,G,作直线,MN,，使得,EGN=,1 .,EGN=,1 ,MN CD,（基本事实）。,又,AB CD,（已知）,过点,G,有两条不同的直线,AB,和,MN,都与直线,CD,平行，,这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。,1 ,2,的假设是不成立的。,因此， ,1=,2,。,1,2,F,C,M,A,G,E,H,D,N,B,推理过程,原结论是正确的,命题中的结论不成立,相矛盾的定理原来是它,15,求证,:,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,.,定理,不用反证法证明,已知,:,如图，,l,1,l,2,l,2,l,3,求证,:,l,1,l,3,l,1,l,2,l,3,l,B,l,1,l,2,l,2,l,3,（已知）,2 =1,，,1 =3,（,两直线平行，同位角相等）,证明,:,作直线,l,，分别与,直线,l,1,，,l,2,，,l,3,交于于点,A,，,B,，,C,。,2 =3,（等式性质）, l,1,l,3,（,同位角相等，两直线平行）,2,1,3,l,C,A,16,用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。,求证：,ABC,ABC.,不妨设,BC,BC.,A,B,C,A,B,C,D,在,BC,上截取,CD=CB.,连接,AD.,在,ABC,和,ADC,中，,AC=AC,C=C,CB=CD,ABCADC(SAS).,AB=AD(全等三角形的对应边相等),AB=AB(已知)，,AB=AD（等量代换），,B=ADB（等边对等角），,ADB,90（三角形内角和定理），,即,C,ADB,90（三角形的外角大于和它不相邻的内角）。,这与,C=90相矛盾。,因此，BC,BC的假设不成立，即,ABC与ABC不全等的假设不成立。,所以，ABCADC.,17,用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是：,第一步，假设命题的结论不成立。,第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。,第三步，有矛盾的结果判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。,18,反证法的一般步骤,:,假设命题结论不成立,假设不成立,假设命题结论反面成立,与已知条件,矛盾,假设,推理得出的结论,与,定理，定义，基本事实,矛盾,所证命题成立,19,常用的互为否定的表述方式：,是,存在,平行,垂直,等于,都是,大于,小于,至少有一个,至少有三个,至少有,n,个,至多有一个,三角形中最多有一个是直角,不是,不存在,不平行,不垂直,不等于,不都是,不大于,不小于,一个也没有,至多有两个,至多有,(n-1),个,至少有两个,三角形中有两个或三个角是直角,20,巩固练习,用反证法证明下列命题：,1.垂直于同一条直线的两条直线平行,2.两条直线相交，有且只有一个交点。,3,.,如果两条直线都平行与第三条直线，那么着两条直线也互相平行。,21,学以致用：,1,、用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于,60,”。,证明：假设三角形的三个内角都大于,60,度，,即,A 60,，,B 60, C,60,则,A+,B+,C ,这与 相矛盾，, 不成立，, 。,180,三角形的内角和是,180,三角形的三个内角都大于,60,三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于,60,22,2,、如图，已知,ABEF,于,M,，,CDEF,于,N,用反证法证明：,ABCD,。,G,D,C,A,B,E,F,H,N,M,证明：假设,AB,与,CD,不平行，,过,N,作,GH,AB,，,GH,AB,AME=GNE,ABEF,，,AME=90,GNE=90,，,GH EF,又,CDEF,过点,N,有两条直线,CD,和,GH,都与直线,EF,垂直,，,这与,“,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,”,相矛盾。,AB,与,CD,不平行的假设是不成立的，,因此，,ABCD,。,23,如图，在,ABC,中,若,C,是直角，那么,B,一定是锐角,.,3.,你能用反证法证明以下命题吗？,证明：假设结论不成立,则,B,是,_,或,_.,这与,_,矛盾；,当,B,是,_,时，则,_,这与,_,矛盾；,直角,钝角,直角,B+ C= 180,三角形的三个内角和等于,180,钝角,B+ C,180,三角形的三个内角和等于,180,当,B,是,_,时，则,_,综上所述,假设不成立,.,B,一定是锐角,.,24,4.,说出下列各结论的否定面：,（,1,）,ab,（,2,）,a,b,（,3,）,b,是正数,（,4,）,ab,（,5,）至少有一个,（,6,）至多有一个,a,不平行于,b,ab,b,是,0,或负数,a,不垂直于,b,一个也没有,至少有两个,25,课堂小结,本节课你学会了哪些知识？,1,、怎样的证明方法叫反证法？,2,、用反证法证明一个命题的一般步骤是什么？,26,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,回顾与归纳,反证法,反设,归谬,结论,得出矛盾（已知、,公理、定理等）,假设不成立，原,命题成立,.,27,再见,28,
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