线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三节 向量的内积和Schmidt正交化,一、内积的定义和性质,二、向量的长度和性质,三、正交向量组的概念和求法,四、正交矩阵和正交变换,五、小结 思考题,定义1,内积,一、内积的定义及性质,说明,1 维向量的内积是3维向量数量积,的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,内积的运算性质,定义2,令,长度,范数,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,解,单位向量,夹角, 正交的概念, 正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向,量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明, 正交向量组的性质,性质2,: 正交向量组,单位,化后仍是正交向量组,叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。,是标准正交向量组，,则,例如,就是一个标准正交向量组。,（1）,正交化,，取,，,4、Schmidt正交单位化方法,设,是线性无关向量组，构造新,的向量组,，使两个向量组等价,且,是正交向量组。,（2）,单位化,，取,标准正交向量组。,例,用施密特正交化方法，将向量组,正交规范化.,解,先,正交化,，,取,施密特正交化过程,再,单位化,，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义4,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的行向量组,是标准正交向量组,例,判别下列矩阵是否为正交阵,定义5,若 为正交阵，则线性变换 称为正,交变换,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例,解,1将一组线性无关向量规范正交化的方法：,先用施密特正交化方法将向量组正交化，然后再将其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解答,