概率论与数理统计(4)

, , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,11/27/2024,1,概率论与数理统计是研究随机现象,数量规律的一门学科。,2,第一章 概率论的基本概念,1.1,随机试验,1.2,样本空间,1.3,概率和频率,1.4,等可能概型（古典概型）,1.5,条件概率,1.6,独立性,第二章 随机变量及其分布,2.1,随机变量,2.2,离散型随机变量及其分布,2.3,随机变量的分布函数,2.4,连续型随机变量及其概率密度,2.5,随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,3.1,二维随机变量,3.2,边缘分布,3.3,条件分布,3.4,相互独立的随机变量,3.5,两个随机变量的函数的分布,3,第四章 随机变量的数字特征,4.1,数学期望,4.2,方差,4.3,协方差及相关系数,4.4,矩、协方差矩阵,第五章,大数定律和中心极限定理,5.1,大数定律,5.2,中心极限定理,第六章 数理统计的基本概念,6.1,总体和样本,6.2,常用的分布,4,第七章 参数估计,7.1,参数的点估计,7.2,估计量的评选标准,7.3,区间估计,第八章 假设,检验,8.1,假设检验,8.2,正态总体均值的假设检验,8.3,正态总体方差的假设检验,8.4,置信区间与假设检验之间的关系,8.5,样本容量的选取,8.6,分布拟合检验,8.7,秩和检验,第九章,方差分析及回归分析,9.1,单因素试验的方差分析,9.2,双因素试验的方差分析,9.3,一元线性回归,9.4,多元线性回归,5,第十章 随机过程及其统计描述,10.1,随机过程的概念,10.2,随机过程的统计描述,10.3,泊松过程及维纳过程,第十一章 马,尔可夫链,11.1,马尔可夫过程及其概率分布,11.2,多步转移概率的确定,11.3,遍历性,第十二章 平稳随机过程,12.1,平稳随机过程的概念,12.2,各态历经性,12.3,相关函数的性质,12.4,平稳过程的功率谱密度,6,概 率 论,7,关键词：,样本空间,随机事件,频率和概率,条件概率,事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,8,1,随机试验,确定性现象：结果确定,不确定性现象：结果不确定,确定性现象,不确定性现象,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例：,向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,9,概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为,随机试验。,它具有以下特性：,可以在相同条件下重复进行,事先知道可能出现的结果,进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,例：,抛一枚硬币，观察试验结果；,对某路公交车某停靠站登记下车人数；,对某批电子产品测试其输入电压；,对听课人数进行一次登记；,10,2,样本空间,随机事件,(,一,),样本空间,样本空间,S,e,：,随机试验所有结果构成的集合,样本点,：,e,S=0,1,2,；,S=,正面，反面,；,S=(x,y)|T,0,y,xT,1,；,S= x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例：,一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度,x,，,最低温度,y,记录一批产品的寿命,x,11,(,二,),随机,事件,（随机）,事件,A,：,S,的子集,事件,A,发生,：集合,A,中的某一样本点出现,S=0,1,2,；,记,A=,至少有,10,人候车,=10,11,12, S,，,A,为随机事件，,A,可能发生，也可能不发生。,例：,观察,89,路公交车浙大站候车人数，,基本事件,:,单点集,必然事件,:S,不可能事件,:,12,例：,记,A=,明天天晴,，,B=,明天无雨,记,A=,至少有,10,人候车,，,B=,至少有,5,人候车,一枚硬币抛两次，,A=,第一次是正面,，,B=,至少有一次正面,S,A,B,(,三,),事件的关系及运算,事件的关系（包含、相等）,13,3,当,AB=,时，,A,与,B,不相容（互斥）,S,B,A,S,14,事件的运算,S,B,A,S,A,B,A,与,B,的和事件，记为,A,与,B,的积事件，记为,15,“和”、“交”关系式,S,A,B,例：设,A,=,甲来听课,，,B,=,乙来听课,，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,16,17,3,频率与概率,(,一,),频率,定义：记,其中,A,发生的次数,(,频数,),；,n,总试验次 数。称 为,A,在这,n,次试验中发生的,频率,。,某人一共听了,16,次“概率统计”课，其中有,12,次迟到，记,A=,听课迟到,，则,#,频率 反映了事件,A,发生的频繁程度。,例：,中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了,n,次，其中成功了一次，则在这,n,次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为,18,试验,序号,n,=5,n,=50,n,=500,n,H,f,n,(,H,),n,H,f,n,(,H,),n,H,f,n,(,H,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2,3,1,5,1,2,4,2,3,3,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.4,0.6,0.6,22,25,21,25,24,21,18,24,27,31,0.44,0.50,0.42,0.50,0.48,0.42,0.36,0.48,0.54,0.62,251,249,256,253,251,246,244,258,262,247,0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,表,1,例：抛硬币出现的正面的频率,实验者,n,n,H,f,n,(,H,),德,摩根,2048,1061,0.5181,蒲 丰,4040,2048,0.5069,K,皮尔逊,12000,6019,0.5016,K,皮尔逊,24000,12012,0.5005,表,2,20,*,频率的性质：,且 随,n,的增大渐趋稳定，记稳定值为,p,21,(,二,),概率,定义,1,： 的稳定值,p,定义为,A,的概率，记为,P(A)=p,定义,2,：,称,P(A),为事件,A,的,概率,。,A,1,A,2,A,n,S,22,性质：,S,A,B,S,B,B-A,A,23,A,B,B-A,24,25,4,等可能概型（古典概型）,定义：若试验,E,满足：,S,中样本点有限,(,有限性,),出现每一样本点的概率相等,(,等可能性,),称这种试验为,等可能概型,(,或古典概型,),。,26,例,1,：一袋中有,8,个球，其中,3,个为红球，,5,个为黄球，从袋中不放回摸两球，记,A=,恰是一红一黄,，求,P(A),解,：,例,2,：有,N,件产品，其中,D,件是次品，从中不放 回的取,n,件，,记,A,k,恰有,k,件次品,，求,P(A,k,),解,27,例,3,：将,n,个不同的球，投入,N,个不同的盒中,(nN),，设每球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，求每盒中至多一球的概率。,28,29,30,1,2,a,a+1,a+b,白,红,31,32,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周,的任一天中去接待站是等可能的，那么，,12,次接待来,访者都是在周二、周四的概率为,2,12,/7,12,=0.000 000 3.,例,6,：某接待站在某一周曾接待,12,次来访，已知所有这,12,次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的,?,人们在长期的实践中总结得到,“,概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的,”,(,称之为,实际推断原理,),。,现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,33,作业：,p32,2,3,6,7,9,12,34,5,条件概率,35,一、条件概率,36,例：某班男生占,1/3,男生且戴眼镜的占,1/4,，女生且戴眼 镜的占,1/3,任取一人。,解,：设“,A”,：该人为男生，“,B”:,该人戴眼镜,二、乘法公式,当下面的条件概率都有意义时：,38,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为,70%,，余下 的,30%,的产品要调试后再定，已知调试后有,80%,的产品可以出厂，,20%,的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,解：设,A=,生产的产品要报废,B=,生产的产品要调试,已知,P(B)=0.3,，,P(A|B)=0.2,，,39,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加,3,次；某人第一次参加能通过的概率为,60%,；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为,80%,；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为,90%,。求这人能通过考核的概率。,解：,设,A,i,=,这人第,i,次通过考核,，,i=1,2,3,A=,这人通过考核,，,亦可：,40,例：从,52,张牌中任取,2,张，采用,(1),放回抽样，（,2,）不放,回抽样，求恰是,“,一红一黑,”,的概率。,利用乘法公式,与,不相容,（,1,）放回抽样：,（,2,）不放回抽样：,解：,设,A,i,=,第,i,次取到红牌,，,i=1,2,B=,取,2,张恰是一红一黑,41,三、全概率公式与,Bayes,公式,定义：,称,B,1,B,2,B,n,为,S,的,一个,划分,若：,B,1,B,2,B,n,S,42,全概率公式,：,B,1,B,2,B,n,S,A,43,*,全概率公式可由以下框图表示：,设,P(B,j,)=,p,j,P(A|B,j,)=,q,j, j=1,2,n,易知：,S,P,1,B,2,B,1,B,n,.,.,.,q,2,q,1,q,n,A,44,45,例：某班男生占,2/3,，女生占,1/3,，男生中戴眼 镜的有,1/2,，女生中戴眼镜有,3/4,，任取,1,人。,(1),此人戴眼镜的概率？,(2),若已知此人戴眼镜，则此人是男生的概率？,46,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为,80%,，,若甲出差，则乙出差的概率为,20%,；若甲不出差，,则乙出差的概率为,90%,。,(1),求近期乙出差的概率；,(2),若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes,公式,全概率公式,解：设,A=,甲出差,，,B=,乙出差,47,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有,5%,的假阳性及,5%,的假阴性：若设,A=,试验反应是阳性,，,C=,被诊断患有癌症,则有：已知某一群体,P(C)=0.005,，,问这种方法能否用于普查？,若,P(C),较大，不妨设,P(C)=0.8,推出,P(C|A)=0.987,说明这种试验方法可在医院用,解：考察,P(C|A),的值,若用于普查，,100,个阳性病人中被诊断患有癌症的,大约有,8.7,个，所以不宜用于普查。,48,6,独立性,例：有,10,件产品，其中,8,件为正品，,2,件为次品。从中取,2,次,每次取,1,件，设,A,i,=,第,i,次取到正品,，,i=1,2,不放回抽样时，,放回抽样时，,即放回抽样时，,A,1,的发生对,A,2,的发生概率不影响,同样，,A,2,的发生对,A,1,的发生概率不影响,49,定义：若,P(AB)=P(A)P(B),称,A,，,B,相互独立,。,50,注意：,51,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为,0.8,，乙击中率为,0.7,，求目标被击中的概率。,解：,设,A=,甲击中,B=,乙击中,C=,目标被击中,甲、乙同时射击，其结果互不影响，,A,，,B,相互独立,52,例：有,4,个独立元件构成的系统,(,如图,),，设每个元件,能正常运行的概率为,p,，,求系统正常运行的概率。,1,4,3,2,注意：这里系统的概念与电路,中的系统概念不同,53,54,55,复习思考题,1,2.,“,两事件,A,和,B,为互不相容，即,AB=,则,A,和,B,互逆,”,，对吗？ 反之成立吗？试举例说明之。,4.,甲、乙两人同时猜一谜，设,A=,甲猜中,，,B=,乙猜中,，,则,AB,=,甲、乙两人至少有,1,人猜中,。若,P(A),=0.7,P(B),=0.8,则,“,P(AB),=0.7+0.8=1.5,”,对吗？,5.,满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？,56,7.,如何理解基本事件是两两互不相容的？,8.,设,A,和,B,为两随机事件，试举例说明,P(AB)=P(B|A),表示不同的意义。,10.,什么条件下称两事件,A,和,B,相互独立？,什么条件下称,n,个事件,A,1,A,2,A,n,相互独立？,11.,设,A,和,B,为两事件，且,P(A)0,P(B)0,问,A,和,B,相互独立、,A,和,B,互不相容能否同时成立？试举例说明之。,12.,设,A,和,B,为两事件，且,P(A)=a,P(B)=b,问：,(1),当,A,和,B,独立时,P(AB),为何值？,(2),当,A,和,B,互不相容时,P(AB),为何值？,57,13.,当满足什么条件时称事件组,A,1,A,2,A,n,为样本空间,的一个划分,？,15.,设,A,B,C,为三随机事件,且,P(C)0,问,P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C),P(AB|C),是否成立？,若成立，与概率的加法公式比较之。,58,第二章 随机变量及其分布,关键词：,随机变量,概率分布函数,离散型随机变量,连续型随机变量,随机变量的函数,59,1,随机变量,*,常见的两类试验结果：,示数的,降雨量；候车人数；发生交通事故的次数,示性的,明天天气（晴，多云,）；化验结果（阳性，阴性）,e,s,x,离散型的,连续型的,X=f(e),为,S,上的单值函数，,X,为实数,*,中心问题：将试验结果数量化,*,定义：随试验结果而变的量,X,为随机变量,*,常见的两类随机变量,60,例：掷硬币,3,次，出现正面的次数记为,X.,样本点,TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH,X,的值,0 1 1 1 2 2 2 3,X,0 1 2 3,p,1/8 3/8,3/8,1/8,61,2,离散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为,离散量,离散量的概率分布,(,分布律,),1,、写出可能取值即写出样本点,2,、写出相应的概率即写出每一个样本点出现的概率,#,概率分布,62,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过,3,个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为,p,，,0,p,1,，以,X,表示首次 停车时所通过的交通灯数，求,X,的概率分布律。,p,X,0,1,2,3,p,p(1-p),(1-p),2,p,(1-p),3,解：,设,A,i,=,第,i,个灯为红灯,，则,P,(,A,i,)=,p,，,i,=1,2,3,且,A,1,A,2,A,3,相互独立。,63,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为,p,，,0p1,，,若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到,X,只产品， 试写出,X,的概率分布律。,解：设,A,i,=,第,i,次抽到正品,，,i=1,2,则,A,1,A,2,相互独立。,亦称,X,为服从参数,p,的,几何分布,。,64,三个主要的离散型随机变量,0,1(p),分布,二项分布,X,p,q,0,1,p,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果,互不影响,在相同条件下,重复进行,(p+q=1),*,n,重贝努利试验：设试验,E,只有两个可能的结果：,p(A)=p,0p1,将,E,独立地重复进行,n,次，则称这一串,重复,的,独立,试验为,n,重,贝努利试验,。,65,例：,1.,独立重复地抛,n,次硬币，每次只有两个可能的结果：,正面，反面，,如果是不放回抽样呢？,2.,将一颗骰子抛,n,次，设,A=,得到,1,点,，则每次试验,只有两个结果：,3.,从,52,张牌中,有放回,地取,n,次，设,A=,取到红牌,，则,每次只有两个结果：,66,设,A,在,n,重贝努利试验中发生,X,次，则,并称,X,服从参数为,p,的,二项分布,，记,67,例：,设有,80,台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是,0.01,，且一台设备的故障能有一个人处理。,考虑两种配备维修工人的方法，,其一是由,4,个人维护，每人负责,20,台；,其二是由,3,个人共同维护,80,台。,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,68,69,例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过,3,个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为,p,，,0p1,， 以,Y,表示一路上遇到红灯的次数。,(1),求,Y,的概率分布律；,(2),求恰好遇到,2,次红灯的概率。,解,：这是三重贝努利试验,70,例：某人独立射击,n,次，设每次命中率为,p,，,0p0,为常数，则称,X,服从参数为,的,指数分布,。记为,X,具有如下的无记忆性：,82,正态分布,定义：设,X,的概率密度为,其中,为常数，称,X,服从参数为,的,正态分布,(,Gauss,分布,),，,记为,可以验证：,83,称,为位置参数,(,决定对称轴位置,),为,尺度参数,(,决定曲线分散性,),84,X,的取值呈中间多，两头少，对称的特性。,当固定,时，,越大，曲线的峰越低，落在,附近的概率越小，取值就越分散，,是反映,X,的取值分散性的一个指标。,在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,85,86,例：,查书后附表,87,例：一批钢材,(,线材,),长度,(1),若,=100,，,=2,，,求这批钢材长度小于,97.8cm,的概率；,(2),若,=100,，,要使这批钢材的长度至少有,90%,落在区间,(97,103),内，问,至多取何值？,88,5,随机变量的函数分布,问题：已知随机变量,X,的概率分布，,且已知,Y=g(X),，求,Y,的概率分布。,X,p,i,0.2,-1,0,1,0.5,0.3,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量,X,，,若,则,Y,服从什么分布？,例：已知,X,具有概率分布,且设,Y=X,2,，求,Y,的概率分布。,解：,Y,的所有可能取值为,0,1,即找出,(Y=0),的等价事件,(X=0),；,(Y=1),的等价事件,(X=1),或,(X=-1),89,例：设随机变量,X,具有概率密度,求,Y=2X+8,的概率密度。,解：,分别记,X,Y,的分布函数为,90,一般，若已知,X,的概率分布，,Y=g(X),，求,Y,的 概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,91,例：设,Y=2X,Z=X,2,求,Y,Z,的概率分布。,X,-1,1,0,p,Z,0,1,p,Y,-2,2,0,p,解：,Y,的可能取值为,-2,0,2,Z,的可能取值为,0,1,(Y=-2),的等价事件为,(X=-1),(Z=1),的等价事件为,(X=1)(X=-1),故得：,92,例：,93,x,h(y),y,y,0,y=g(x),y,94,95,例：,解：,96,97,98,作业：,p71,19,，,25,，,26,，,27,，,29,，,31,99,复习思考题,2,1.,什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？,2.,满足什么条件的试验称为,“,n,重贝努里试验,”,？,3.,事件,A,在一次试验中发生的概率为,p,0,p,1,。,若在,n,次独立重复的试验中，,A,发生的总次数为,X,则,X,服从什么分布？并请导出：,4.,什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？,5.,什么样的随机变量称为连续型的？,6.,若事件,A,为不可能事件，则,P(A)=0,反之成立吗？又若,A,为必然事件，,则,P(A)=,1,，,反之成立吗？,7.,若连续型随机变量,X,在某一区间上的概率密度为,0,，则,X,落在该区间,的概率为,0,，对吗？,8.,若随机变量,X,在区间,(a,b),上均匀分布，,则,X,落入,(a,b),的任意一子区间,(a,1,b,1,),上的概率为,(,b,1,-,a,1,)/(,b-a,),对吗？,9.,若,X,N(,2,),，,则,X,的概率密度函数,f(x),在,x=,处值最大，因此,X,落在,附近的概率最大，对吗？,100,课件,待续,!,11/27/2024,