非线性回归的线性化

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中山学院经济与管理系,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中山学院经济与管理系,*,第四章 非线性回归模型的线性化,4.1,变量间的非线性关系,迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。,但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关,系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所,熟悉的柯布,-,道格拉斯生产函数,:,就是一例。,2024/11/27,中山学院经济与管理系,1,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数,变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们,通过一些例子来讨论这个问题。,2024/11/27,中山学院经济与管理系,2,3,线性模型的含义,线性模型的基本形式是,:,其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。,线性模型的线性包含两重含义：,（,1,）变量的线性,变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或,之类的函数形式出现在模型中。,2024/11/27,中山学院经济与管理系,4,（,2,）参数的线性,因变量,Y,是各参数的线性函数。,非线性回归模型的分类：,1,虽然被解释变量,Y,与解释变量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为,非标准线性回归模型,。,其一般形式为：,其中 是关于 的,p,个已知的非线性函数， 是（,p+1,）个未知参数,2024/11/27,中山学院经济与管理系,5,2,虽然被解释变量,Y,与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可,线性化的非线性回归模型,3,如果被解释变量,Y,与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为,不可线性化的非线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,6,4.2,线性化方法,1,非标准线性回归模型的线性化方法,非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法,非标准线性回归模型的一般形式为：,2024/11/27,中山学院经济与管理系,7,令,则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,8,下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线性回归模型,1,多项式函数模型,多项式函数模型的一般形式为：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,9,2,双曲函数模型,双曲函数模型的一般形式为：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,10,3,对数函数模型,对数函数模型的一般形式为：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,11,4 S-,型曲线模型,S-,性曲线模型的一般形式为：,首先对上式做倒数变换得：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,12,2,可线性化的非线性回归模型的线性化方法,下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型,（,1,）指数函数模型,指数函数模型的一般形式为,对上式两边取对数得到,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型；,2024/11/27,中山学院经济与管理系,13,（,2,）幂函数模型,幂函数模型的一般形式为：,对上式两边取对数得到：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型：,2024/11/27,中山学院经济与管理系,14,例：对于柯布,-,道格拉斯（,C-D,）生产函数模型,其中，,Y,表示产出量，,K,表示资金投入量，,L,表示劳动投入量，,u,是随机误差项，,A,、 和 为未知参数。试利用天津市,1980,年,1996,年的有关统计资料，估计天津市全社会的,C-D,生产函数模型。,2024/11/27,中山学院经济与管理系,15,首先建立天津市的,C-D,生产函数模型,i=1,，,2,，,17,两边取对数得到：,令,则可将,C-D,生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,2024/11/27,中山学院经济与管理系,16,得到估计的回归方程为（括号内的数字为,t,统计量值）,（,-8.1304,）（,34.7271,）（,6.1513,）,最后得到估计的,C-D,生产函数方程为：,2024/11/27,中山学院经济与管理系,17,