数学几种排列组合综合

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,几种排列组合综合问题的解法,2024/11/27,2,从,n,个不同元素中,任取,m,个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列,.,2.,组合的定义,:,从,n,个不同元素中,任取,m,个元素,并成一组,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合,.,3.,排列数公式,:,4.,组合数公式,:,1.,排列的定义,:,排列与组合的区别与联系,:,与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题,.,2024/11/27,3,例,1,.7,人排成一排,.,甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？,解：,分两步进行：,几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插空,.,第,1,步，把除甲乙外的一般人排列：,第,2,步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中,(,插空,),：,解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决,.,1.,插空法：,2024/11/27,4,变,学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票,12,张。,8,个学生，,4,个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？,解,先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有,7,个空档可插,选其中的,4,个空档,共有 种选法,.,根据乘法原理,共有的不同坐法为 种,.,结论,1,插空法,:,对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法,.,即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可,.,分析,此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待,.,所涉及问题是排列问题,.,2024/11/27,5,相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列,.,2.,捆绑法,例,2,.6,人排成一排,.,甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法,?,解：,（,1,）,分两步进行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列,(,捆绑,),：,第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：,几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列,.,2024/11/27,6,变,5,个男生,3,个女生排成一排,3,个女生要排在一起,有多少种不同的排法,?,解,因为女生要排在一起,所以可以将,3,个女生看成是一个人,与,5,个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排法,.,结论,2,捆绑法,:,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题,.,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列,.,分析,此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题,.,2024/11/27,7,例,4.,5,个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？,几个元素,顺序一定,的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序,.,或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了,.,3.,除法消序法,(,留空法,),解法,1,：,将,5,个人依次站成一排，有,解法,2,：,先让甲乙之外的三人从,5,个位置选出,3,个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有,1,种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,2024/11/27,8,变式：,如下图所示,有,5,横,8,竖构成的方格图,从,A,到,B,只能上行或右行共有多少条不同的路线,?,解,:,如图所示,1,2,3,4,5,6,7,将一条路经抽象为如下的一个排法,(5-1)+(8-1)=11,格,:,其中必有四个,和七个,组成,!,所以,四个,和七个,一个排序就对应一条路经,所以从,A,到,B,共有,条不同的路径,.,也可以看作是,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有,种排法,.,2024/11/27,9,n,个 相同小球放入,m(mn),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,例,4.,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有,_,种,.,4.,隔板法：,解：,问题等价于把,16,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,16,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,455,种,.,2024/11/27,10,n,个 相同小球放入,m(mn),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,变式：,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有,_,种,.,解：,问题等价于先给,2,班,1,个，,3,班,2,个，,4,班,3,个，再把余下的,10,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,10,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,84,种,.,2024/11/27,11,变：,在,高二年级中的,8,个班,组织一个,12,个人的年级学生分会,每班要求至少,1,人,名额分配方案有多少种,?,解,此题可以转化为,:,将,12,个相同的白球分成,8,份,有多少种不同的分法问题,因此须把这,12,个白球排成一排,在,11,个空档中放上,7,个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成,8,份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种,.,结论,3,隔板转化模型法,:,对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解,.,分析,此题若直接去考虑的话,就会比较复杂,.,但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解,.,2024/11/27,12,5.,另两种转化模型法,2024/11/27,13,例,5,（,1,）,袋中有不同的,5,分硬币,23,个,不同的,1,角硬币,10,个,如果从袋中取出,2,元钱,有多少种取法,?,解,把所有的硬币全部取出来,将得到,0.0523+0.1010=2.15,元,所以比,2,元多,0.15,元,所以剩下,0.15,元即剩下,3,个,5,分或,1,个,5,分与,1,个,1,角,所以共有 种取法,.,结论,4,剩余法,:,在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法,.,分析,此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来,.,但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题,.,2024/11/27,14,例,5,（,2,）,期中安排考试科目,9,门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序,?,解,不加任何限制条件,整个排法有 种,“,语文安排在数学之前考,”,与,“,数学安排在语文之前考,”,的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种,.,结论,5,对等法,:,在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一,.,在求解中只要求出全体,就可以得到所求,.,分析,对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了,.,并且也避免了问题的复杂性,.,2024/11/27,15,6.,剔除法,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法,.,例,6.,从集合,0,1,2,3,5,7,11,中任取,3,个元素分别作为直线方程,Ax+By+C=0,中的,A,、,B,、,C,，所得的经过坐标原点的直线有,_,条,.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有,210-180,30,条,.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍,.,2024/11/27,16,变：,某班里有,43,位同学,从中任抽,5,人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种,?,解,43,人中任抽,5,人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有,1,人在内的抽法有 种,.,结论,6,排除法,:,有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除,.,分析,此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况,.,而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便,.,这样就可以简化计算过程,.,2024/11/27,17,互斥分类,-,分类法,先后有序,-,位置法,反面明了,-,排除法,相邻排列,-,捆绑法,分隔排列,-,插空法,。,2024/11/27,18,小结,:,本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有,插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法,;,对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题,.,对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题,.,在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如,:,分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握,.,2024/11/27,19,要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列,.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积,.,分组（堆）问题的六个模型：,无序不等分；无序等分；无序局部等分；,(,有序不等分；有序等分；有序局部等分,.),处理问题的原则：,分组（堆）问题,2024/11/27,20,有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程,.,共有多少种不同的发包方式？,解：,要完成发包这件事，可以分为两个步骤：,先将四项工程分为三“堆”，有,种分法；,再将分好的三“堆”依次给三个工程队，,有,3!,6,种给法,.,共有,66,36,种不同的发包方式,.,分组（堆）问题,2024/11/27,21,练习：,有,12,个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数,（,1,）分为两组，一组,7,人，一组,5,人；,（,2,）分为甲、乙两组，甲组,7,人，乙组,5,人；,（,3,）分为甲、乙两组，一组,7,人，一组,5,人；,（,4,）分为甲、乙两组，每组,6,人；,（,5,）分为两组，每组,6,人；,（,6,）分为三组，一组,5,人，一组,4,人，一组,3,人；,（,7,）分为甲、乙、丙三组，甲组,5,人，乙组,4,人，丙组,3,人；,（,8,）分为甲、乙、丙三组，一组,5,人，一组,4,人，一组,3,人；,（,9,）分为甲、乙、丙三组，每组,4,人；,（,10,）分为三组，每组,4,人,2024/11/27,22,B,B,巩固练习,2024/11/27,23,A,4.5,个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）,A.6,B.12,C.7