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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章 推 理 与 证 明,2.1,合情推理与演绎推理,1,从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先生,.,先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字,.,学到这里，儿子就告诉父亲说：,“我已经学会了写字，不,用先生再教了,.”,于是，,财主就把教书先生给辞退了,.,一天，财主要邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖,.,财主的儿子怎么写的,?,情景导学,探究点,1,归纳推理,【1】1742,年哥德巴赫,(Goldbach,1690,1764,是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,1725,年当选为俄国彼得堡科学院院士,),观察到,:,新知探究,猜想,:,任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数之和,.,任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数之和,.,哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的过程：,具体的材料,观察分析,猜想出一般性的结论,【3】,成语“一叶知秋”,【2】,统计初步中的用样本估计总体,通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验,进而对整体作出推断,.,意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到,.,比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知全体,.,由某类事物的,具有某些特征,推出,该类事物的,都具有这些特征的推理,或者由,概括出,的推理,称为归纳推理（简,称归纳）,.,归纳推理,特点：部分 整体，个别 一般,.,铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，,猜想,:,所有金属都导电,.,又如,猜想,:,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,概念解析,分析：数列的通项公式表示的是数列,a,n,的第,n,项,a,n,与序号,n,之间的对应关系,.,为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项,.,例,1.,已知数列,a,n,的第,1,项,a,1,=1,且,(,n,=1,2,),，试归纳出这个数列的通项公式,.,解,:,当,n,=1,时，,a,1,=1;,当,n,=2,时，,例题解析,当,n,=3,时，,当,n,=4,时，,观察可得，数列的前,4,项都等于相应序号的倒数,.,由此猜想，这个数列的通项公式为,春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了手,他由此受到启发从而发明了锯,.,探究点,2,类比推理,新知探究,类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的,.,鱼类,潜水艇,蜻蜓,直升机,形状，沉浮原理,外形，飞行原理,仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的,.,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,一年中有季节的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否有生命？,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类,似特征,地球上有生命存在,猜测火星上也可能有生命存在,类比推理的过程（步骤）,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,.,类比推理,(1),类比推理是由特殊到特殊的推理,.,(2),运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,.,概念解析,(1),类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础,类比出新的结论,.,(2),是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性,.,(3),类比的结果具有猜测性,.,类比推理的特点,例,2,类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质,.,分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且,“,0,”,和,“,1,”,分别在加法和乘法中占有特殊的地位,.,因此，我们可以从上述,4,个方面来类比这两种运算,.,解：（,1,）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数,.,例题解析,(2),从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即,(3),从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程,都有唯一解,(4),在加法中，任意实数与,0,相加都不改变大小；乘法中的,1,与加法中的,0,类似，即任意实数与,1,的积都等于原来的数,.,即,三角形,思考：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？,例,3,：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有,3,个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象,.,a,b,c,D,P,E,F,s,1,s,2,s,3,解：如上图，在,RtABC,中，,C=90.,设,a,b,c,分别表示三条边的长度，由勾股定理，得,类比勾股定理的结构，我们猜想,成立,.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理,;,以观察分析为基础,推测新的结论,;,具有发现的功能,;,结论不一定成立,类比推理,由特殊到特殊的推理,;,以旧的知识为基础,推测新的结论,;,具有发现的功能,;,结论不一定成立,归纳小结,提出猜想,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,从具体问题出发,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理,.,合情推理,归纳推理,类比推理,例,4,如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片,.,按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,1,2,3,1.,每次只能移动,1,个金属片；,2.,较大的金属片不能放在较小的金属片上面,.,试推测：把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针,最少需要移动多少次,?,例题解析,分析：我们从移动,1,2,3,4,个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动,n,个金属片所需的次数,.,解：当,n=1,时，只需把金属片从,1,号针移到,3,号针，用符号（,13,）表示，共移动了,1,次,.,当,n=2,时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用,2,号针作为“中间针”，移动顺序是：,（,1,）把第,1,个金属片从,1,号针移到,2,号针；,（,2,）把第,2,个金属片从,1,号针移到,3,号针；,（,3,）把第,1,个金属片从,2,号针移到,3,号针；,用符号表示为,：（,12,）（,13,）（,23,）,共移动了,3,次,.,当,n=3,时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为,n=2,的情形，移动顺序是：,（,1,）把上面两个金属片从,1,号针移到,2,号针；,（,2,）把第,3,个金属片从,1,号针移到,3,号针；,（,3,）把上面两个金属片从,2,号针移到,3,号针；,其中（,1,）和（,3,）都需要借助中间针,.,用符号表示为,：,（,13,）（,12,）（,32,）；（,13,）；（,21,）（,23,）（,13,）,共移动了,7,次,.,当,n=4,时，把上面,3,个金属片作为一个整体，移动顺序是：,（,1,）把上面,3,个金属片从,1,号针移到,2,号针；,（,2,）把第,4,个金属片从,1,号针移到,3,号针；,（,3,）把上面,3,个金属片从,2,号针移到,3,号针；,用符号表示为,：,（,12,）（,13,）（,23,）（,12,）（,31,）（,32,）（,12,）；（,13,）；（,23,）（,21,）（,31,）（,23,）（,12,）（,13,）（,23,）,.,共移动了,15,次,.,至此，我们得到依次移动,1,2,3,4,个金属片所需次数构成的数列,.,1,3,7,15.,观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：,由此我们猜想：若把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针，最少需要移动,a,n,次，则数列,a,n,的通项公式为：,思考：把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针,怎样移动才能达到最少的移动次数呢,?,通过探究上述,n=1,2,3,4,时的移动方法，我们可以归纳出对,n,个金属片都适用的移动方法,.,当移动,n,个金属片时，可分为下列,3,个步骤：,（,1,）把上面（,n-1,）个金属片从,1,号针移到,2,号针；,（,2,）把第,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针；,（,3,）把上面,(n-1),个金属片从,2,号针移到,3,号针,.,这样就把移动,n,个金属片的任务，转化为移动两次（,n-1,）个金属片和移动一次第,n,个金属片的任务,.,而移动（,n-1,）个金属片需要移动两次（,n-2,）个金属片和移动一次第（,n-1,）个金属片，移动（,n-2,）个金属片需要移动两次（,n-3,）个金属片和移动一次第（,n-2,）个金属片,如此继续,.,直到转化为移动,1,个金属片的情形,.,根据这个过程，可得递推公式,从这个递推公式出发，可以证明（,1,）式是正确的,.,一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,.,费马猜想：,同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，你能举一个例子吗？,半个世纪之后，欧拉发现：,猜想：,不是质数，从而推翻了费马的猜想,B,C,当堂检测,3.,（,2014,新课标全国卷,I,）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,A,、,B,、,C,三个城市时，,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过,B,城市；,乙说：我没去过,C,城市；,丙说：我们三人去过同一城市；,由此可判断乙去过的城市为,_.,解,：,由丙可知，乙至少去过一个城市，由甲说可知甲去过,A,，,C,且比乙多，故乙只去过一个城市，且没有去过,C,城市，故乙只去过,A,城市,.,A,1.,归纳推理、类比推理的定义,.,2.,推理的一般思维过程,:,观察、分析,概括、推广、类比,提出猜想,课堂小结,类比推理,由特殊到特殊的推理,;,以旧的知识为基础,推测新的结论,;,具有发现的功能,;,结论不一定成立,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理,;,以观察分析为,基础,推测新的结论,;,具有发现的功能,;,结论不一定成立,3.,归纳、类比推理的特点,作 业,不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。,
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