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2.2.3,向量数乘运算及其几何意义,如何求作两个非零向量的和向量？,首尾相接首尾连,O,A,B,提示,:,如何求作两个非零向量的差向量？,首同尾连指被减,O,A,B,提示,:,问题：,一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，,那么它在同一方向上按照相同的速度行走,3,秒钟的位,移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向,上按照相同的速度行走,3,秒钟的位移对应的向量又怎,样表示？是 吗,?,请同学们自己思考,.,作匀速直线运动的飞机位移与速度的关系是 吗？,带着上面的问题，我们进入本节课的学习！,1.,掌握向量的数乘运算及几何意义,.,2.,熟练运用向量的数乘运算律进行计算,.,（重点）,3.,理解两个向量共线的条件，能用向量共线的条件证明点共线和直线平行,.,（重点、难点）,思考,1,：,已知非零向量,，如何求作向量,和,（,）,（,）,（,）？,O,A,B,C,O,M,N,P,探究点,1,向量数乘的定义,（,）（,）（,）,提示,:,思考,2,：,向量,和,(-)+(-)+(-),分别如何简化其表示形式？,思考,3,：,向量,3,和,3,与向量,的大小和方向有什么关系？,O,A,B,C,O,M,N,P,记为,3,，,（,）（,）（,）记为,3,.,提示,:,思考,4,：,设,为非零向量，那么,还是向量吗？它们分别与向量,有什么关系？,提示,:,（,1,）,|,|=|,|,；,（,2,）,0,时,与,方向相同；,0,时,与,方向相反；,=0,时,=.,思考,5,：,一般地，我们规定实数,与向量,的积是一,个向量，这种运算叫做向量的数乘,.,记作,，该向,量的长度及方向与向量,有什么关系？,提示,:,如图，设点,M,为,ABC,的重心，,D,为,BC,的中点，那么向量 与 ，与 分别有什么关系？,A,B,C,D,M,解答,:,【,即时训练,】,探究点,2,向量数乘的运算律及共线向量基本定理,思考,1,：,你认为,2,（,5,），,2,2,，,可分别转化为什么运算？,-2,(5,)=-10,；,2,2,=,2(,+,),；,(3,),=3,提示,:,思考,2,：,一般地，设,，,为实数，则,(,),，,(,),，,(,),分别等于什么？,=,提示,:,提示,:,A,B,C,D,E,提示,:,提升总结：,向量数乘的运算律,思考,3,：,对于向量,（,）和,，若存在实数,，使,=,，则向量,与,的方向有什么关系？,思考,4,：,若向量,（,）与,共线，则一定存在实数,，使,=,成立吗？,思考,5,：,综上可得向量共线定理：向量,（,）与,共线，当且仅当有唯一一个实数,，使,=,.,若,，上述定理成立吗？,提示：共线,提示：一定存在,提示：不成立,思考,6,：,若存在实数,，使 ，则,A,，,B,，,C,三点的位置关系如何？,A,，,B,，,C,三点共线,提示,:,思考,7,：,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线,性运算，对于任意向量,，,，,以及任意实数,，,x,，,y,，,(x,y,）可转化为什么运算？,(x,y,）,=,x,y,.,提示,:,A,B,P,O,如图，若,P,为,AB,的中点，则 与 ，的关系如,何？,解答,:,【,即时训练,】,例,1.,计算,（,1,）（,3,）,4,；,（,2,）,3,（,）,2,（,）,；,（,3,）（,2,3,）（,3,2,）,.,向量与实数之间可以像多项式一样进行运算,.,【,变式练习,】,A,2,3,O,例,2.,如图，已知任意两个非零向量 试作,你能判断,A,，,B,，,C,三点之间的,位置关系吗？为什么？,A,B,C,A,，,B,，,C,三点共线,.,【,解析,】,分别作向量 ，过点,A,，,C,作直线,AC.,观察发现，不论向量 怎样变化，点,B,始终在直线,AC,上，猜想,A,，,B,，,C,三点共线,.,事实上，因为,根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形,ABCD,的形状，并给出证明,.,简析,:,（,1,）平行四边形，一组对边平行且相等,.,（,2,）梯形，一组对边平行且不相等,.,（,3,）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等,.,【,变式练习,】,例,3.,如图，,ABCD,的两条对角线相交于点,M,，且,=,，,=,，你能用,表示 ，和 吗？,M,A B,D C,如图，在平行四边形,ABCD,中，点,M,是,AB,的中点，点,N,在线段,BD,上，且有,BN=BD,，求证：,M,，,N,，,C,三点共线,.,提示：,设,，,则,【,变式练习,】,D,B,C,定义,运算律,数乘向量,应用,寻求真理的只能是独自探索的人，和那些并不真心热爱真理的人毫不相干。,帕斯捷尔纳克,
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