《异面直线及所成的角》

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,异面直线及所成的角,一、基础知识,2,、空间两条直线的位置关系：,异面,直线,相交直线,平行直线,共面,直线,1,、异面直线的定义：,不同在,任何一个平面内,的两条直线叫作异面直线,空间两条直线,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,3,、异面直线的画法：,平面,衬托法,4,、异面直线的判断,（,1,）、异面直线的判定定理,（,2,）、反证法,A,B,5,、异面直线成的角,（,1,）、定义：,（,2,）、取值范围（,0,0,，,90,0,（,3,）、作法：平移法或补形法,(4),两条直线互相垂直,相交直线的垂直,异面直线的垂直,分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角,设图中的正方体的棱长为,a,，,A,1,A,B,B,1,C,D,C,1,D,1,图中,哪些棱所在的直线与,BA,1,成异面直线,求,异面,直线,A,1,B,与,C,1,C,的夹角的度数,图,中,哪些棱所在的直线与直线,AA,1,垂直,例题,1,例题,2,、,.,下面两条直线是异面直线的是（）,A.,不同在一个平面内的两条直线；,B.,分别在某两个平面内的两条直线；,C.,既不平行又不相交的两条直线；,D.,平面内的一条直线和平面外的一条直线,C,例题,3.,若,a,b,是异面直线，,b,c,是异面直线，则,a,c,的位置关系是（）,A.,相交、平行或异面,B.,相交或平行,C.,异面,D.,平行或异面,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,D,1,例,4,、,如图：,a,b,c,为不共面的三条直线,且相交于一点,O,点,M,N,P,分别在直线,a,b,c,上,点,Q,是,b,上异于,N,的点,判断,MN,与,PQ,的位置关系,并予以证明。,D,1,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,F,E,解：,例,5(,法一,),、,在棱长是,a,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,F,分 别是,BB,1,CC,1,的中点，求直线,AE,与,BF,所成的角,.,例,5(,法二,),、,在棱长是,a,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,F,分 别是,BB,1,CC,1,的中点，求直线,AE,与,BF,所成的角,.,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,F,E,D,1,解：,例,5(,法三,),、,在棱长是,a,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,F,分 别是,BB,1,CC,1,的中点，求直线,AE,与,BF,所成的角,.,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,F,E,D,1,解：,K,变式一、,M,，,N,为,A,1,B,1,，,BB,1,的中点,求,AM,与,CN,所成的角,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,N,D,1,M,D,1,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,E,D,1,B,A,D,C,A,1,B,1,C,1,E,E,1,B,2,B,3,变式二、求,AE,与,BD,1,所成的角,直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中角,ACB,90,0,，,D,1,，,F,1,分别是,A,1,B,1,与,A,1,C,1,的中点。若,BC,CA,CC,1,，求,BD,1,与,AF,1,这两条异面直线所成的角。,A,A,1,C,B,B,1,C,1,F,1,D,1,分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。,例,6,思路一：取,BC,中点,G,，,连结,F,1,G,，则,角,AF,1,G,（或其补角）,为异面,直线所成的角；解三,角形,AF,1,G,可得,。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,F,1,G,B,思路二、延展平面,BAA,1,B,1,，使,A,1,E,D,1,A,1,，,则将,BD,1,平移到,AE,，,角,EAF,1,（,或其补角 ）,即为,BD,1,与,AF,1,所成的角。,A,A,1,C,B,1,F,1,D,1,E,例,7,A,为正三角形,BCD,所在平面外一点，且,AB=AC=AD=BC=a,，,E,、,F,分别是棱,AD,、,BC,的中点，连结,AF,、,CE,，,如图所示，求异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,G,解：,连结,DF,，取,DF,的中点,G,，,连结,EG,，,CG,，又,E,是,AD,的中点，故,EG/AF,，,所以,GEC,（,或其补角）是异面直线,AF,、,CE,所成的角。,异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值是,例,7,A,为正三角形,BCD,所在平面外一点，且,AB=AC=AD=BC=a,，,E,、,F,分别是棱,AD,、,BC,的中点，连结,AF,、,CE,，,如图所示，求异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,P,另解,:,延长,DC,至,P,使,DC=CP,，,E,为,AD,中点，,AP/EC,。,故,PAF(,或其补角,),为异面直,线,AF,、,CE,所成的角。,异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值是,注意,补形平移,直接平移，,中位线平移，,、平移：,、若用余弦定理求出,cos,，则异,面直线所成的角为,如：若求出,则异面直线所成的角的余弦值为,求异面直线所成角的步骤,3,、 解三角形，求出,2,、 找出角,，证明,即为所求角,1,、平移,(,作平行线,),三、小结,空间两条直线的位置关系,异面直线及所成的角，重点是角求解方法,