指数函数与对数函数的关系(反函数)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,指数函数与对数函数的关系,问题1：,指数函数,y,=,a,x,与对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,a,1)有什么关系?,对应法则互逆,y,=,a,x,x,=log,a,y,y,=log,a,x,指数换对数,交换x,y,指数函数,y,=,a,x,与对数函数,x,=log,a,y,(,a,0,a,1)有什么关系?,函数,自变量,因变量,定义域,值域,y,=,a,x,x,y,R,(0,+),x,=log,a,y,y,x,(0,+),R,称这两个函数互为,反函数,对应法则互逆,指数函数,y,=,a,x,是对数函数,x,=log,a,y,(,a,0,a,1)的,反函数,指数函数,y,=,a,x,(,a,0,a,1),对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,a,1),反函数,观察在同一坐标系内函数,y,=log,2,x,与函数,y,=2,x,的图像,分析它们之间的关系.,函数,y,=log,2,x,的图像与函数,y,=2,x,的图像关于直线,y,=,x,对称,(1,0),(0,1),O,x,y,y=,log,2,x,y=2,x,y=x,P(a,b),Q(a,b),函数,y=f(x),的图像和它的反函数的图像关于直线,y=x,对称,1当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数,互为反函数,。,2对数函数,y,=log,a,x,与指数函数,y,=,a,x,互为反函数，,图象关于直线y=x对称,。,3 函数,y,f,(,x,)的反函数通常用,y,f,1,(,x,),表示。,注意：,y,f,1,(,x,),读作：“f逆x”,表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思,例1 写出下列对数函数的反函数:,(1),y,=lg,x,;,解 (1)对数函数,y,=lg,x,它的底数是,它的反函数是指数函数,10,y,=10,x,(2)对数函数,它的底数是,它的反函数是指数函数,例2 写出下列指数函数的反函数:,(1),y=5,x,解(1)指数函数,y,=5,x,它的底数是,5,它的反函数是对数函数,y=,log,5,x,;,(2)指数函数 ,它的底数是 ,它的反函数是对数函数,练习,1.说出下列各组函数之间的关系:,(1),y,=10,x,和y=lg,x,；,(2),y,=2,x,和y=log,2,x,;,(3),y,=e,x,和,y,=lnx.,互为反函数,定义域和值域互换,对应法则互逆,练习,2.写出下列对数函数的反函数:,(1),y=,log,2.5,x,;(2),y,=log,x,;,3.写出下列指数函数的反函数:,(1),y=,4,x,;,(2,)y=,1.4,x,;,(1),y=2.5,x,(2),y=,x,(1),y,=log,4,x,(2),y,=log,1.4,x,例3求函数32（,R,）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。,解：由32（,R,）得,所以21（R）的反函数是,（,R,）,32经过两点（0，2），（2/3，0）,经过两点（2，0），（0，2/3）,做一做,0,x,y,32,想一想：函数,32,的图象和它的反函数,的图象之间有什么关系？,求函数反函数的步骤:,3,求原函数的值域,1,反解,2,x,与,y,互换,4,写出反函数及它的定义域,b,f,(,a,),a,f,1,(,b,),点（b,a）在反函数,y,f,1,(,x,)的图像上,点（a,b）在函数,y,f,(,x,)的图像上,(1,0),(0,1),O,x,y,y=,log,2,x,y=2,x,y=x,P(b,a),Q(a,b),结论:,例4,函数,f,(,x,)log,a,(,x,1)(,a,0且,a,1)的反函数的图象,经过点(1,4)，求,a,的值,.,解,:依题意,得,b,f,(,a,),a,f,1,(,b,),点（b,a）在反函数,y,f,1,(,x,)的图像上,点（a,b）在函数,y,f,(,x,)的图像上,b,f,(,a,),a,f,1,(,b,),点（b,a）在反函数,y,f,1,(,x,)的图像上,点（a,b）在函数,y,f,(,x,)的图像上,理论迁移,例4 已知函数 .,（1）求函数f(x)的定义域和值域；,（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线,y=x对称.,小结,反函数的概念,定义域和值域互换,对应法则互逆,图像关于直线y=x对称,指数函数,y,=,a,x,(,a,0,a,1)与对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,a,1),互为反函数,作业,课本第106页练习 A组B组,对数函数y=log,a,x(a0,a1),指数函数y=a,x,(a0,a1,),(4),a1,时,a越大图像越靠近y轴,0a1,时,a越大图像越靠近x轴,0a1,时,在R上是,增,函数；,0a1,时,在(0,+)是,增,函数；,0a1),y=a,x,(0a1),y=log,a,x(0a1),x,y,o,1,指数函数、对数函数的图象和性质,图,象,性,质,