资源描述
*,2,.,3,函数的奇偶性与周期性,1,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1,.,函数的奇偶性,(1),奇函数,:,图像关于,原点,对称的函数叫作奇函数,.,在奇函数,f,(,x,),中,f,(,x,),和,f,(,-x,),的绝对值相等,符号,相反,即,f,(,-x,),=-f,(,x,);,反之,满足,f,(,-x,),=-f,(,x,),的函数,y=f,(,x,),一定是奇函数,.,(2),偶函数,:,图像关于,y,轴,对称的函数叫作偶函数,.,在偶函数,f,(,x,),中,f,(,x,),和,f,(,-x,),的值相等,即,f,(,-x,),=f,(,x,);,反之,满足,f,(,-x,),=f,(,x,),的函数,y=f,(,x,),一定是偶函数,.,当函数,f,(,x,),是,奇函数,或,偶函数,时,称函数具有奇偶性,.,2,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2,.,奇,(,偶,),函数的性质,(1),如果函数,f,(,x,),是偶函数,那么,f,(,x,),=f,(,|x|,),.,(2),奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,;,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,.,(3),在公共定义域内有,:,奇函数,奇函数,=,奇函数,偶函数,偶函数,=,偶函数,奇函数,奇函数,=,偶函数,偶函数,偶函数,=,偶函数,奇函数,偶函数,=,奇函数,.,(4),若函数,f,(,x,),是奇函数,且在,x=,0,处有定义,则,f,(0),=,0,.,3,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3,.,函数的周期性,(1),周期函数,:,T,为函数,f,(,x,),的一个周期,则需满足的条件,:,T,0;,f,(,x+T,),=f,(,x,),对定义域内的任意,x,都成立,.,(2),最小正周期,:,如果在周期函数,f,(,x,),的所有周期中存在一个,最小的正数,那么这个,最小正数,就叫作它的最小正周期,.,(3),周期不唯一,:,若,T,是函数,y=f,(,x,)(,x,R,),的一个周期,则,nT,(,n,Z,且,n,0),也是函数,f,(,x,),的周期,即,f,(,x+nT,),=f,(,x,),.,4,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4,.,函数周期性的常用结论,对函数,f,(,x,),的定义域内任一自变量的值,x,(1),若,f,(,x+a,),=-f,(,x,),则,T=,2,a.,(4),若,f,(,x,),是偶函数,其图像关于直线,x=a,对称,则,T=,2,a.,(5),若,f,(,x,),是奇函数,其图像关于直线,x=a,对称,则,T=,4,a.,(6),若函数的图像关于两条直线,x=a,x=b,对称,则,T=,2,|a-b|.,(7),若函数的图像关于点,M,(,a,0),和点,N,(,b,0),对称,则,T=,2,|a-b|.,(8),若函数的图像关于直线,x=a,和点,M,(,b,0),对称,则,T=,4,|a-b|.,5,2,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1,.,下列结论正确的,画,“,”,错误的,画,“”,.,(1),函数,y=x,2,x,(0,+,),是偶函数,.,(,),(2),若函数,f,(,x,),为奇函数,则一定有,f,(0),=,0,.,(,),(3),若函数,y=f,(,x+a,),是偶函数,则函数,y=f,(,x,),的图,像,关于直线,x=a,对称,;,若函数,y=f,(,x+b,),是奇函数,则函数,y=f,(,x,),的图,像,关于点,(,b,0),中心对称,.,(,),(4),若函数,f,(,x,),g,(,x,),是定义域相同的偶函数,则,F,(,x,),=f,(,x,),+g,(,x,),是偶函数,.,(,),(5),已知函数,y=f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数,若,f,(,x,),在,(,-,0),上是减函数,则,f,(,x,),在,(0,+,),上是增函数,.,(,),(6),若,T,为,y=f,(,x,),的一个周期,则,nT,(,n,Z,),是函数,f,(,x,),的周期,.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),(6),6,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2,.,已知,f,(,x,),=ax,2,+bx,是定义在,a-,1,2,a,上的偶函数,那么,a+b,的值是,(,),答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,7,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3,.,定义域为,R,的四个函数,y=x,3,y=,2,x,y=x,2,+,1,y=,2sin,x,中,奇函数的个数是,(,),A.4B.3C.2D.1,答案,解析,解析,关闭,函数,y=x,3,y=,2sin,x,为奇函数,y=,2,x,为非奇非偶函数,y=x,2,+,1,为偶函数,故奇函数的个数是,2,故选,C,.,答案,解析,关闭,C,8,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4,.,已知函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x,0,时,f,(,x,),=x,(1,+x,),则当,x,0,时,f,(,x,),=,.,答案,解析,解析,关闭,当,x,0,故,f,(,-x,),=,(,-x,)(1,-x,),.,又,f,(,x,),为奇函数,f,(,-x,),=-f,(,x,),=,(,-x,)(1,-x,),f,(,x,),=x,(1,-x,),.,答案,解析,关闭,x,(1,-x,),9,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,10,知识梳理,双基自测,自测点评,1,.,若函数的定义域不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数,.,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件,.,2,.,若函数,f,(,x,),为奇函数,且在,x=,0,处有定义,则有,f,(0),=,0,.,3,.,根据周期函数的定义,函数的周期应是一个非零常数,.,11,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,例,1,判断下列函数的奇偶性,:,(1),f,(,x,),=x,3,-x,;,思考,判断函数的奇偶性要注意什么,?,12,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,解,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,R,关于原点对称,.,又,f,(,-x,),=,(,-x,),3,-,(,-x,),=-x,3,+x=-,(,x,3,-x,),=-f,(,x,),故函数,f,(,x,),为奇函数,.,因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,.,(3),函数的定义域为,x|x,0,关于原点对称,.,当,x,0,时,-x,0,此时,f,(,x,),=-x,2,+x,f,(,-x,),=,(,-x,),2,-x=x,2,-x=-,(,-x,2,+x,),=-f,(,x,);,当,x,0,此时,f,(,x,),=x,2,+x,f,(,-x,),=-,(,-x,),2,-x=-x,2,-x=-,(,x,2,+x,),=-f,(,x,),.,故对于,x,(,-,0),(0,+,),均有,f,(,-x,),=-f,(,x,),.,即函数,f,(,x,),为奇函数,.,13,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,解题心得,判断函数的奇偶性要注意两点,:,(1),定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提,.,(2),判断关系式,f,(,x,),+f,(,-x,),=,0(,奇函数,),或,f,(,x,),-f,(,-x,),=,0(,偶函数,),是否成立,.,14,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,15,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,即,f,(,-x,),=f,(,x,),f,(,x,),是偶函数,.,(2),函数的定义域为,x|x,0,关于原点对称,.,当,x,0,时,-x,0,此时,f,(,x,),=-x,2,+,2,x+,1,f,(,-x,),=x,2,-,2,x-,1,=-f,(,x,);,当,x,0,此时,f,(,x,),=x,2,+,2,x-,1,f,(,-x,),=-x,2,-,2,x+,1,=-f,(,x,),.,故对于,x,(,-,0),(0,+,),均有,f,(,-x,),=-f,(,x,),即函数,f,(,x,),是奇函数,.,16,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,17,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,例,2,(1),已知,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x,0,时,f,(,x,),=x,2,-,3,x,则函数,g,(,x,),=f,(,x,),-x+,3,的零点所构成的集合为,(,),A.1,3B.,-,3,-,1,1,3,(4),已知函数,g,(,x,),是定义在,-,2,2,上的偶函数,当,x,0,时,函数,g,(,x,),递减,若,g,(1,-m,),0,则,x,的取值范围是,.,答案,答案,关闭,21,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,解析,:,(1),由,f,(,x,),与,g,(,x,),分别是定义在,R,上的偶函数和奇函数,知,f,(,-,1),=f,(1),g,(,-,1),=-g,(1),.,又,f,(,x,),-g,(,x,),=x,3,+x,2,+,1,故可令,x=-,1,得,f,(,-,1),-g,(,-,1),=,(,-,1),3,+,(,-,1),2,+,1,=,1,即,f,(1),+g,(1),=,1,.,故选,C,.,22,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,(3),f,(,x,),是偶函数,f,(,-x,),=f,(,x,),=f,(,|x|,),.,f,(,x-,1),0,可化为,f,(,|x-,1,|,),f,(2),.,又,f,(,x,),在,0,+,),上单调递减,|x-,1,|,2,解得,-,2,x-,1,2,即,-,1,x,3,.,(4),f,(,x,),在,(,-b,b,),上是奇函数,23,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,例,3,(1),定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x+,6),=f,(,x,),当,-,3,x-,1,时,f,(,x,),=-,(,x+,2),2,;,当,-,1,x,3,时,f,(,x,),=x.,则,f,(1),+f,(2),+f,(3),+,+f,(2 015),等于,(,),A.335B.336C.1 678D.2 012,2,x,3,时,f,(,x,),=x,则,f,(105,.,5),=,.,思考,函数的周期性主要的应用是什么,?,答案,答案,关闭,(1)B,(2)2,.,5,24,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,解析,:,(1),f,(,x+,6),=f,(,x,),函数,f,(,x,),的周期,T=,6,.,当,-,3,x-,1,时,f,(,x,),=-,(,x+,2),2,;,当,-,1,x,3,时,f,(,x,),=x,f,(1),=,1,f,(2),=,2,f,(3),=f,(,-,3),=-,1,f,(4),=f,(,-,2),=,0,f,(5),=f,(,-,1),=-,1,f,(6),=f,(0),=,0,f,(1),+f,(2),+,+f,(6),=,1,.,又,f,(2,016),=f,(0),=,0,f,(1),+f,(2),+f,(3),+,+f,(2,015),=,336,.,25,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,函数,f,(,x,),的周期为,4,.,f,(105,.,5),=f,(4,27,-,2,.,5),=f,(,-,2,.,5),=f,(2,.,5),.,2,2,.,5,3,f,(2,.,5),=,2,.,5,.,f,(105,.,5),=,2,.,5,.,解题心得,利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题
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