1.4角平分线的性质 (2)

,湖北鸿鹄志文化传媒有限公司,助您成功,第,1,章,1.4,角平分线的性质（,1,）,1,、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角,，,这条射线叫做这个角的平分线。,o,B,C,A,1,2,知识回顾,如图，,AB,AD,，,BC,DC,，沿着,AC,画一条射线,AE,，,AE,就是,BAC,的角平分线，你知道为什么吗？,D,C,B,A,E,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两全个相等的角。你有什么办法？,A,O,B,C,再,打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,对折,自主预习,.,分别以,为圆心,.,大于 的长为半径作弧两弧在,AOB,的内部交于,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,.,画射线,OC,射线即为所求,A,为什么,OC,是角平分线呢？,想一想：,已知：,OM=ON,，,MC=NC,。,求证：,OC,平分,AOB,。,证明：,在,OMC,和,ONC,中，,OM=ON,，,MC=NC,，,OC=OC,，,OMC ONC,（,SSS,）,MOC=NOC,即：,OC,平分,AOB,(1),实验,：将,AOB,对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2),猜想,:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,新知探究,证明：,OC,平分,AOB,（已知）,1=2,（角平分线的定义）,PD OA,，,PE OB,（已知）,PDO=PEO,（垂直的定义）,在,PDO,和,PEO,中,PDO=PEO,（已证）,1=2,（已证）,OP=OP,（公共边）,PDO PEO,（,AAS,）,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,P,A,O,B,C,E,D,1,2,已知：如图，,OC,平分,AOB,，点,P,在,OC,上，,PD,OA,于点,D,，,PEOB,于点,E,求证,:PD=PE,(3),验证,猜想,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,用符号语言表示为：,A,O,B,P,E,D,1,2,1=2,PD OA,，,PE OB,PD=PE,(,角,的,平分线上的点到角的两边的距离相等,),推理的理由有,三个,，必须写完全，不能少了任何一个。,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA,，,QEOB,，点,D,、,E,为垂足，,QD,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,证明,:,QDOA,，,QEOB,（已知），,QDO,QEO,90,（垂直的定义）在,RtQDO,和,RtQEO,中,QO,QO,（公共边）,QD=QE,RtQDORtQEO,（,HL,）,QOD,QOE,点,Q,在,AOB,的平分线上,已知：如图,QDOA,，,QEOB,，,点,D,、,E,为垂足，,QD,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,QDOA,，,QEOB,，,QD,QE,点,Q,在,AOB,的平分线上,用数学语言表示为：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,QDOA,QEOB,点,Q,在,AOB,的平分线上,QD,QE,例,1,如图，,BAD=,BCD=90,，,1=2.,（,1,）求证：点,B,在,ABC,的平分线上。,（,2,）求证：,BD,是,ABC,的角平分线。,证明,（,1,）在,ABC,中，,1=,2,BA=BC,又,BA AD,，,BC CD,点,B,在,ABC,的平分线上。,（,2,）在,Rt,BAD,和,Rt,BCD,中，,BA=BC,，,BD=BD,Rt,BAD,Rt,BCD,ABD=,CBD,BD,是,ABC,的平分线。,A,B,C,D,1,2,角平分线的性质定理：,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,角平分线的性质定理的逆定理：,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,知识梳理,，,1,、在,RtABC,中，,BD,是角平分线，,DEAB,，垂足为,E,，,DE,与,DC,相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PD OA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,随堂练习,3.,要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺,1,：,20 000,）,公路,铁路,4,、在,ABC,中，,ACBC,，,AD,为,BAC,的平分线，,DEAB,，,AB,7,，,AC,3,，求,BE,的长。,E,D,C,B,A,