随机函数变量的分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散型随机变量,函数的分布,问题的提出,3.6 随机变量函数的分布,3,连续型随机变量函数的分布,4,小结,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数,更感兴趣.,求截面面积,A,=,的分布.,比如，已知圆轴截面直径,d,的分布，,设随机变量,X,的分布已知，,Y=g,(,X,),(,设,g,是连续函数,），,如何由,X,的分布求出,Y,的,分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量,函数的分布,解：,当,X,取值,1，2，5,时,，,Y,取对应值,5，7，13，,例1,设,X,求,Y,=2,X,+3,的概率函数,.,而且,X,取某值与,Y,取其对应值是两个同时发生的事件,，两者具有相同的概率.,故,如果,g,(,x,k,),中有一些是相同的，把它们作适当,并项即可.,一般地，若,X,是离散型,r.v，X,的分布律为,X,则,Y=g(X),如：,X,则,Y=X,2,的分布律为：,Y,设随机变量,X,具有以下的分布律，试求,Y,=(,X,-1),2,的分布律.,p,k,X,-1 0 1 2,0,.,2 0,.,3 0,.,1 0,.,4,解:,Y,有可能取的值为,0，1，4,.,且,Y,=0,对应于,(,X,-1),2,=0，,解得,X,=1，,所以,P,Y,=0,=,P,X,=1=,0,.,1,练,习,同理,P,Y,=1,=,P,X,=0+,P,X=2=0.3+0.4=,0.7,P,Y,=4,=,P,X=-1=,0.2,p,k,Y,0 1 4,0,.,1 0,.,7 0,.,2,所以，,Y,=(,X,-1),2,的分布律为,：,p,k,X,-1 0 1 2,0,.,2 0,.,3 0,.,1 0,.,4,Y,=(,X,-1),2,三、连续型随机变量函数的分布,解 题 思 路,分布函数法,设随机变量,X,具有,概率密度,：,试求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,解：,(1),先求,Y,=2,X,+8,的分布函数,F,Y,(,y,)：,例2,整理得,Y,=2,X,+8,的概率密度为,：,整理得,Y,=2,X,+8,的概率密度为,：,本例用到变限的定积分的求导公式,例3,设随机变量,服从正态分布,，,求,的密度函数,.,解,设Y的分布函数,为,，,则,上式两端对,y,求导，得,Y,的密度函数,即,，,称,Y,为,X,的标准化随机变量,。,设随机变量,服从正态分布,，,则,也服从正态分布,，,只是参数可能不同,。,设随机变量,X,具有,概率密度,求,Y,=,X,2,的概率密度,.,解：,(1),先求,Y,=,X,2,的分布函数,F,Y,(,y,)：,例4,例如,设,X,N,(0,1),其概率密度为,：,则,Y,=,X,2,的概率密度为,：,2.公式法,上面介绍的分布函数法是求连续型随机变量的函数的概率密度的一般方法.而对于,函数,是严格单调的情形,可用公式直接,求,的概率密度,.,定理,设,X,f,X,(,x,)，,y,=,g,(,x,),是,x,的严格,单调函数，记,x,=,h,(,y,),为,y,=,g,(,x,),的反函数,且,h,(,y,),连续可导，则,Y,=,g,(,X,),的密度函数为,:,其中区间,为,的值域.,例5,设,求,Y,=,e,X,的分布,.,y,=,e,x,单调可导,反函数,x,=,h,(,y,)=ln,y,所以当,y,0,时,由此得,解：,四、小结,对于连续型随机变量，在求,Y,=,g,(,X,)的分布时，,关键的一步是把事件,g,(,X,),y,转化为,X,在一定范围内取值的形式,，从而可以利用,X,的分布来求,P,g,(,X,),y,.,这一节我们介绍了随机变量函数的分布.,练习题,解：1）对于,2）当 时，,