刚体的定轴转动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,刚体的定轴转动,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动,角坐标,回顾,角位移,角速度,各质元有,相同的,角位移、角速度、角加速度,角加速度,刚体绕定轴作,匀变速,转动,力 对轴的力矩 为,刚体定轴转动定律,转动惯量,J,平行轴定理,影响,J,的三个要素:,总质量、质量分布、转轴的位置,圆环绕中心轴旋转的转动惯量,定轴转动定律的应用,-滑轮问题三步曲：,1、牛二定律；2、转动定律；3、角量与线量关系,4-7一长为,2,l,，质量为,3,m,的均直细棒的两端各固定有质量分别为,2,m,和,m,的小球，如图所示。此杆可绕通过杆中心并与杆垂直的水平光滑固定轴在竖直平面内转动。先使其在水平位置，然后无初速地释放。,求：此刚体系统绕,O,轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。,P109,求：此刚体系统绕,O,轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。,解,(1)系统绕,O,轴转动的转动惯量,(2)取逆时针方向为正,水平位置时杆的角加速度由转动定律,有,(3)铅垂位置时杆的角速度,有多种解法,1、力矩的功,z,4.3,转动中的功和能,刚体在外力 作用下转过一微小角位移 。力的作用点的位移为,在 上的,元功,为：,刚体在外力矩,M,作用下转过一有限角位移 时，力矩的总功,2、刚体的转动动能 转动动能定理,刚体中任意一质元的,动能,：,刚体的,转动动能,：,m,i,z,定轴转动的动能定理,（看 P 102，推导）,即：,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,定轴转动的动能定理,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,把质点系动能定理应用于刚体,质点系动能定理,对刚体，因为 ，换成外力矩的功，平动动能换成转动动能,也,得到刚体,定轴转动的动能定理,3、刚体的重力势能,刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。,任一质元的重力势能,刚体的重力势能,设刚体的质心相对零势能位置的高度为,则,即：刚体的重力势能等于刚体的质量集中在质心处的质点的重力势能,例1,质量为3,m,、长为 2,l,的均质细杆，水平转轴在,o,点，两端各固定质量分别为2,m,和,m,的小球,。系统从静止开始由水平位置绕,o,点转动。求:(1)系统对,o,轴的转动惯量；(2)水平位置时系统的角加速度;（3）转到垂直位置时的角速度。,解：,o,(1),系统对,o,轴的转动惯量,(2),水平位置时系统的角加速度,由转动定律,所以,（3）通过垂直位置时的角速度,有三种解法,o,(解1),用转动定律,任意位置的运动方程,求得,此刚体组+地球系统,只有重力作功,机械能守恒,(解2)用转动动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量,o,求得,(解3),用机械能守恒定律,求得,以静止水平点为零势能点,若用质心的重力势能，如何计算？,质心在哪里？,1、质点的角动量,o,质点对,O,点的,角动量,kg m,2,s,-1,4.4 对,定轴的角动量定理,及角动量守恒定律,质点作匀速率圆周运动：,若 作变速率圆周运动；或非圆周运动-怎样理解上式？,2、刚体对定轴的角动量,m,i,z,的方向,刚体看成许多质点组成,任意一质元 对轴的角动量大小为,整个刚体的角动量,3、定轴转动的角动量定理,冲量矩,积分,即：,合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量,写成矢量式,4、角动量守恒定律,若刚体受到的,合外力矩,为零，则系统的角动量守恒。,若,3、定轴转动的角动量定理,冲量矩,积分,即：,合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量,的方向，,的方向,例2,质量为,m,，半径为,R,的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为 ，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求:(1)圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；(2)经多长时间圆盘停止转动。,(1),在,r,处取一宽度为,dr,的圆环,如图所示.其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为,解:,o,R,dr,r,圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为,(2)求圆盘停止转动的时间有,两种解法,解1,用转动定律,求得:,o,R,dr,r,o,R,解2,用角动量定理,解1,用转动定律,求得:,碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为,例3,质量为,m,1,长为,l,的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的,水平桌面,上，可绕通过其端点,o,并与桌面垂直的固定光滑轴转动.今有一水平运动的质量为,m,2,的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端,A,相碰,设碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为,v,1,和,v,2,方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。,解,:,设碰后棒开始转动的角速度为 ,滑块,m,2,可视为质点,碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩,则,m,1,、,m,2,系统对,o,轴的角动量守恒,取逆时针转动的方向为正方向,由角动量守恒定律,有,又设棒开始转动到停止转动所需时间为,t,由角动量定理,联立,解得,例4,质量为,m,的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度,v,0,绕管心作半径为,r,0,的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为,r,1,。求小球的速度以及外力所作的功。,解：,v,0,F,r,0,r,1,v,0,角动量守恒,由动能定理,例5,一长为,l,，质量为,M,的杆垂直悬挂,杆可绕支点,O,自由转动。一质量为,m,，速度为,v,的子弹射入距支点为,a,的棒内,若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少?,解：,子弹与杆碰撞的过程角动量守恒,子弹连同杆上摆的过程机械能守恒,o,a,l,v,30,以哪点作为势能零点比较方便？,例6,质量为,M,，半径为,R,的转台，可绕中心轴转动。设质量为,m,的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？,解：,角动量守恒：,问题1、,一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的,（A）机械能守恒,角动量守恒;,（B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒;,（D）机械能不守恒,角动量不守恒.,问题讨论,问题2、,人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的,(A)动量不守恒，动能守恒；,(B)动量守恒，动能不守恒；,(C)角动量守恒，动能不守恒；,(D)角动量不守恒，动能守恒。,1、力矩的功,2、刚体的,转动动能,3、刚体,定轴转动的动能定理,4、刚体的角动量,5、,刚体,定轴转动的角动量定理,角动量守恒,小结,绕自身对称轴高速旋转的物体,在外力矩的作用下,其对称轴绕一固定轴的回转运动称为,旋进(进动)。,飞轮对自身轴也即对,o,点的角动量,飞轮受重力矩,使 方向改变,而大小不变.,因为,自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转,刚体绕,定轴转动,方向与 方向相同,进动,平衡锤,反方向力矩,质点力学、刚体力学有关公式对照表,质点的运动,刚体的定轴转动,速度,角速度,角加速度,加速度,质量,转动惯量,力,力矩,运动定律,转动定律,动量,动量,角动量,角动量,动量定理,角动量定理,质点的运动,刚体的定轴转动,动量守恒,力的功,力矩的功,动能定理,动能定理,动能,重力势能,机械能守恒 只有保守力做功,角动量守恒,转动动能,重力势能,机械能守恒 只有保守力做功,