排列组合公式及例题方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,排列组合解题技巧综合复习,教学目的,教学过程,课堂练习,课堂小结,1.熟悉解决排列组合问题的基本方法;,2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧;,3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题.,一 复习引入,二 新课讲授,排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.,例题1,例题6,例题5,例题4,例题3,例题2,从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,2.组合的定义:,从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,3.排列数公式:,4.组合数公式:,1.排列的定义:,排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.,例1,学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？,解,先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.,结论1,插空法:,对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.,分析,此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.,例2,5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?,解,因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排法.,结论2,捆绑法:,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.,分析,此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.,例3,在,高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,解,此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.,结论3,转化法（插拔法）:,对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.,分析,此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.,例4,袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?,解,把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 种取法.,结论4,剩余法:,在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.,分析,此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.,例5,期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?,解,不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.,结论5,对等法:,在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.,分析,对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.,例6,某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?,解,43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.,结论6,排除法:,有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.,分析,此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.,练习：,有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数,（1）分为两组，一组7人，一组5人；,（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；,（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；,（4）分为甲、乙两组，每组6人；,（5）分为两组，每组6人；,（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；,（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；,（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；,（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；,（10）分为三组，每组4人,互斥分类-分类法,先后有序-位置法,反面明了-排除法,相邻排列-捆绑法,分隔排列-插空法,小结:,本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有,插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法,;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握.,谢谢大家！,