南邮概率论习题册答案

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第一章概率论的基本概念,1. 写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。,(2)将,a,b,两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。A表示“甲盒中至少有一个球”,(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。,A,表示“点数之和小于6”，,B,表示事件“两次出现的点数之和为7”。,（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。,A,表示“汽车速度在60至80之间”(单位：公里/小时),练习一,(3)记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。,A,表示“南京市110在一小时内收到的呼叫次数在6至10间”。,2.,设,A,、,B,、,C,为三个事件试用,A,、,B,、,C,表示下列事件,(2),A,，,B,，,C,都不发生,(1),A,与,B,不,发生，而,C,发生,(3),A,、,B,、,C,至少有一个发生,(4),A,、,B,、,C,中恰有一个发生,(6),A,、,B,、,C,中至多有两个发生,(5),A,、,B,、,C,中恰有两个发生,(7),A,、,B,、,C,中,至少有两个发生,2,3,3.,设,A,、,B,、,C,为三个事件,且 ，,求,A,，,B,，,C,都不发生的概率。,由 知,4,(2),A,、,B,互不相容,4.,设,A,、,B,是两个事件且 ，试在三种情况下求,(3),A,、,B,有包含关系,5,5,.,设,A,、,B、C,是三个事件,求 ， 。,6,解：以,A,表示事件“指定的3本书放在一起”,练习二,1.把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。,10本书任意放置的情况共有,3个作整体放置的情况共,3本书的排列共有,6,以,A,表示事件,“指定的3本书放在一起”,以事件,A,表示,“指定的3本书放在一起”,把事件,“指定的3本书放在一起”,表示为A,把,“指定的3本书放在一起”,表示为事件A,7,2.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。,(1)求最小号码为5的概率,解：以,A,表示事件“最小号码为5”,(2)求最大号码为5的概率,解：以,B,表示事件“最大号码为5”,8,3.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？,解：以,A,表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”,9,4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。,(1)两只都是正品,解：以,A,表示事件“两只都是正品”,(4)第二次取出的是次品,解：以,C,表示事件“一只是正品，一只是次品”,(2)两只都是次品,(3)一只是正品，一只是次品；,解：以,B,表示事件“两只都是次品”,解：以,D,表示事件“第二次取出的是次品”,10,解：以,A,表示事件“该方程有重根”。,5.考虑一元二次方程 ，其中,B,C,分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。,样本空间,S,中共有36个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和(4,4),11,练习三,1. (1)已知 求 。,解：,(2)已知 求 。,解：,12,2.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。,解：以,A,表示事件“确实患肺结核”，以,B,表示事件“通过透视被确诊”。,13,3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则,(1)此人是色盲患者的概率,解：以,A,表示事件“色盲患者”，以,B,表示事件“所取为男子”。,(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？,解：,14,4.,有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求,(1)第一次取到的零件是一等品的概率,(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。,解：以 表示事件“第,i,次从零件中取到一等品”,以 表示事件“取到第,i,箱”,15,解：,5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏2%，(这一事件记为 )，损坏10,%(,事件,)，,损坏90%（事件 ）。且知 现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为,B,)。试求条件概率 （这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）,16,练习四,1. 口袋里装有,a,+,b,枚硬币，其中,b,枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛掷,n,次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。,解：以,A,表示事件“,n,次出现都是国徽”，,B,表示事件“取到废品”,17,证明：,2. 设 且 。 证明,A,与,B,相互独立。,18,3. 设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了,n,(,n,2)台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。,解：以,A,i,表示事件“第,i,件仪器能出厂”，以,B,表示事件“第,i,件仪器需要进一步调试”，以,C,表示事件：“所有仪器都能出厂”,18,4. 设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为,p,。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。,解：以,A,表示事件“系统的可靠性”,1,第二章 随机变量及其分布,1. 一个袋内装有6个红球和4个白球，从中任取3个，设,X,为取到的红球的个数，求,X,的分布律。,解：,X,的可能取值为：,练习一,X,P,2,2. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为,p,（0,p,2,Y,其它,解：,6,3.设二维连续型随机变量(,X,Y,)的概率密度,其它,其它,求随机变量(,X,Y,)关于,X,和,Y,的边缘概率密度,其它,其它,其它,7,(1)确定常数,c,解：,4.设二维随机变量(,X,Y,)的概率密度,(2)求随机变量(,X,Y,)关于,X,和,Y,的边缘概率密度,其它,其它,其它,6,练习二,1.设二维离散型随机变量(,X,Y,)的联合分布律为,且随机变量,X,与,Y,相互独立，求,p,与,q,的值。,8,2.设二维连续型随机变量(,X,Y,)的概率密度为,(2)判断随机变量,X,和,Y,是否相互独立。,其它,解：,其它,(1)求随机变量(,X,Y,)关于,X,和,Y,的边缘概率密度,其它,显然,不独立,8,3.设随机变量,Y,服从参数为1的指数分布，令,(1)求二维随机变量(,X,1,X,2,)的联合概率分布律,(2) 判断随机变量,X,1,与,X,2,是否相互独立,显然， 不独立。,9,4.设,X,和,Y,是相互独立的随机变量，,X,在(0,1)上服从均匀分布，,Y,服从参数 的指数分布。,(1)求随机变量,X,和,Y,的联合概率密度,f,(,x,y,);,其它,其它,由独立：,其它,(2)设含有,a,的二次方程 试求,a,有实根的概率。,17,练习三,1. 设,X,和,Y,是相互独立的随机变量，且,X,和,Y,的概率密度分别为,求随机变量,Z,=,X,+,Y,的概率密度 。,其它,其它,解：,其它,其它,17,2. 设,X,和,Y,是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量,Z,=,X,+,Y,的概率密度 。,其它,其它,解：,X,和,Y,的概率密度函数分别为,其它,其它,3,3. 设 是相互独立的随机变量，,证明：,显然，,所以,17,4. 设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 ，试验证随机变量 的概率密度为,其它,我们称,Z,服从参数为 的瑞利分布,证明：由,X,和,Y,独立,令,其它,17,5. 设随机变量(,X,Y,),的概率密度为,其它,(1)求随机变量(,X,Y,)关于,X,和,Y,的边缘概率密度,其它,其它,(2)判断随机变量,X,和,Y,是否相互独立？,显然， 独立。,17,(3)求随机变量,U,=max,X,Y,的分布函数 。,1,第四章 随机变量的数字特征,1. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间,X,(以分计)是一个随机变量其概率密度为,其它,试求随机变量,X,的数学期望,E,(,X,)。,解：,2,解：,2. 设随机变量X的分布律为 试求,X,P,3.设随机变量X的概率密度为,(1)求随机变量,X,的数学期望,(2)求随机变量,Y,2,X,的数学期望,(3)求随机变量,Z,e,5,X,的数学期望,3,4.设二维连续型随机变量(,X,Y,)的概率密度为,其它,试求,解：,4,解：,5.设随机变量,X,1,，,X,2,的概率密度分别为,(1)求,(2)又设,X,1,，,X,2,相互独立，求,解：,5,练习二,1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以,X,表示同时需要调整的元件数，试求,X,的数学期望和方差。,解：以,X,i,表示第,i,个元件的调整情况，,i,=1,2,3,第,i,个元件需要调整,第,i,个元件不需要调整,6,2.设乒乓球队,A,与,B,比赛，如果有一个队胜3场，则比赛结束。已知,A,队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比赛场数,X,的数学期望。,解：随机变量,X,的可能取值为3,4,5。,7,(1)写出随机变量(,X,Y,)的概率密度函数。,3.设二维连续型随机变量(,X,Y,)在区域 内服从均匀分布。,其它,解：积分区域的面积为1,(2)求随机变量,Z,2,X,Y,的数学期望及方差。,8,解：,4.设随机变量,X,的概率密度为 ，对,X,独立地重复观察4次，用,Y,表示观察值大于 的次数，求随机变量 的数学期望。,其它,9,(1)求随机变量,Z,=2,X,+,Y,的分布；,令,5.设随机变量,X,Y,相互独立，,解：,(2)求概率,(3)求概率,令,10,练习三,1. 设二维离散型随机变量(,X,Y,)的联合分布律为：,试证明：,X,和,Y,是不相关的，但,X,与,Y,不是相互独立的。,故,X,Y,不相关，而且不独立。,11,2. 设二维连续型随机变量(,X,Y,)在区域 内服从均匀分布，计算 。,其它,解：(,X,Y,)的概率密度函数为,12,解：,3.设随机变量,(,X,Y,)的协方差矩阵为 ，求 与 的相关系数。,13,4. 设连续型随即变量,X,的概率密度为,(1)问,X,与|,X,|是否相关？为什么？,解：,显然不相关。,(2)问,X,与|,X,|是否独立？为什么？,不独立,14,5. 已知 ，试求,(1)协方差,(3)互协方差,(2)相关系数,1,第五章 大数定理与中心极限定理,1. 设 ，则由契比雪夫不等式有,解：,2.设 相互独立且均服从参数 的泊松分布，试证明：当,n,趋向于无穷大时， 依概率收敛于12。,由辛钦大数定律,2,证明：当,n,充分大时， 近似服从正态分布，并指出其分布参数。,解：,3.设 相互独立且同分布，已知,3,4.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少。,解：设随机变量,木柱长度不小于3m,木柱长度小于3m,X,服从(0-1)分布且,令,4,解：设,X,表示随机变量，则舍入误差,X,U(-0.5,0.5),5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。,(1)若将,1500,个数相加，问误差总和的绝对值超过,15,的概率是多少,解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于10,(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？,解之得：,1,第六章样本及抽样分布,解：,1.自总体,X,抽得一个容量为5的样本为8,2,5,3,7，求样本均值 和样本方差 及经验分布函数 。,练习一,2,解：,2.在总体 中随机地取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少？,3,(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。,3.在总体,X,N,(12,4)中随机地抽一容量为5的样本,解：令,(2)求概率,解：,(3)求概率,解：令,1,2.设 是取自具有 分布的总体的样本， 与 分别为样本均值与样本方差求,解：设总体为,X,1,解：,1.设 是取自正态总体 的简单随机样本，求概率 。,练习二,解：设总体为,X,2.设 是取自参数为 的泊松总体 的一个简单随机样本， 与 分别为样本均值与样本方差求,1,3.(1)设 是来自正态总体,X,N,(0,2)的一个简单随机样本，试给出常数,c,使得 服从 分布，并指出它的自由度。,解：,c,= 1/4，自由度为2。,解：,自由度为3。,(2设 是来自正态总体,X,N,(0,1)的一个简单随机样本，试给出常数,d,使得 服从,t,分布，并指出它的自由度。,1,(1)求 ，其中 为样本方差。,(2)求,解：由,解：,4.设在总体 中抽取一容量为16的样本，这里 均为未知。,01,1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计),试求总体均值 及方差 的矩估计值，并求样本方差。,解：,第七章 参数估计 练习一,02,2.设总体,X,的密度函数为,(1) 矩估计量,且 是来自总体,X,的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。(其中,c,已知且 ),解:,解之得：,将 代入,03,(2) 最大似然估计量,解:,最大似然函数为：,求对数,求导数,解之得，最大似然估计值为,最大似然估计量为,04,3.已知总体,X,的分布律为,解之得：,将 代入得矩估计量,p,为未知参数。,且 是来自总体,X,的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数,p,的矩估计量和最大似然估计量。,(1) 矩估计量,解:,05,求导数,求对数,最大似然函数,最大似然估计,量,为,(2) 最大似然估计量,解:,最大似然估计,值,为,06,4.设总体,X,具有分布律,(1) 矩估计值,解之得:,其中 为未知参数，已知取得了样本值,故矩估计,值,为,试求参数 的矩估计值和最大似然估计值。,即矩估计量,又矩估计值,07,(1)最大似然估计值,最大似然函数为,最大似然估计,值,为,08,5.设某种电子器件的寿命(以小时计),T,服从双参数的指数分布，其概率密度为,(1)求,c,与 的最大似然估计,最大似然函数为,其中， 为未知参数，自一批这种器件中随机地取,n,件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为,求对数,09,求导数,由最大似然原则知,最大似然估计值为,最大似然估计量为,10,(2)求,c,与 的矩估计,解之得,将 代入,即,11,1.验证第六章第二节中定理四中的统计量,解：,是两总体公共方差 的无偏估计量( 称为 的合并估计)。,是两总体公共方差 的无偏估计量。,练习二,12,是 的无偏估计量。,解：,2.设总体,X,的数学期望为 是来自总体,X,的简单随机样本。 是任意常数 ，验证,无偏估计量得证。,13,解之得,解：,3. 设 是来自总体,X,的简单随机样本，且设 ，试确定常数,c,，使 是 的无偏估计量。 是样本均值和样本方差。,14,(1)指出 中哪几个是 的无偏估计量。,4. 设 是来自均值为 的指数分布总体,X,的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量,15,(2) 在上述 的无偏估计量中指出哪一个更有效。,4. 设 是来自均值为 的指数分布总体,X,的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量,显然，,则 更有效。,17,是来自总体,X,的简单随机样本。,5. 设总体,X,的密度函数为,(1)求参数 的最大似然估计。,最大似然函数为,设 是来自总体,X,的简单随机样本值。,最大似然估计值为,最大似然估计量为,17,(2)问最大似然估计量是否是无偏的。,最大似然估计量为,最大似然估计量是无偏的。,(3)问最大似然估计量是否是 的相合的估计量。,由辛钦大数定律知是相合的。,01,1.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为,设干燥时间总体服从正态分布 。,(1)若已知 (小时)。,练习三,求 的置信水平为0.95的置信区间。,求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,置信区间为,这里,这里,单侧置信上限为,02,1.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为,设干燥时间总体服从正态分布 。,(2)若 未知。,求 的置信水平为0.95的置信区间。,求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,置信区间为,这里,这里,单侧置信上限为,02,置信区间为,这里,2.使用金球测定引力常数(单位： )的观察值为,设测定值总体为 均为未知。求 的置信水平为0.90的置信区间。,02,置信区间为,解：这里,3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差为 ，取样本容量为 。得燃烧率的样本均值分别为和,，,设两样本独立，求两燃烧率总体均值差 的置信水平为0.99的置信区间。,02,单侧置信上限为,置信区间为,4.设两位化验员,A,B,独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为 。设 分别为,A,B,所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两样本独立。,(1)求方差比 的置信水平为0.95的置信区间。,(2)求方差比 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,02,单侧置信下限为,5.随机地从,A,批导线中抽取4根，又从,B,批导线中抽取5根，测得电阻(欧)为,这里,A,批导线：,B,批导线：,设测定数据分别来自分布 ，且两样本相互独立。又 均为未知，试求均值差 的置信水平为0.95的单侧置信下限。,1,统计量,1.某批矿砂的8个样品的镍含量，经测定为,解：根据题意，提出假设,设测定值总体服从正态分布，已知 ，问在显著性水平 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。,拒绝域,样本计算值,不在拒绝域内，故接受原假设，认为均值为3.25.,2,统计量,解：根据题意，即需检验假设,拒绝域,样本计算值,在拒绝域内，故拒绝原假设，判定平均寿命小于1000小时。,3.要求一种元件平均使用寿命不得低于,1000,小时，生产者从一批这种元件中随机地抽取,25,件，测得其寿命的平均值为,950,小时已知该种元件寿命服从标准差为 小时的正态分布，总体均值 未知，试在显著性水平 下，判定这批元件的寿命是否大于或等于1000？,3,统计量,解：根据题意，即需检验假设,拒绝域,样本计算值为,不在拒绝域内，接受原假设，认为可看作一样。,3.从某锌矿的东、西两支脉矿中各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：,东支,西支,若东西两支脉矿得含锌量都服从正态分布且方差相等，问两支矿含锌量的平均值是否可以看作一样。,4,解：根据题意,拒绝域,样本计算值,在拒绝域内，拒绝原假设，认为均值差大于2。,4.在20世纪70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出在新老两种过程中形成的,NDMA,含量,老过程,新过程,统计量,设两样本分别来自正态分布，且两总体的方差相等，但参数未知。两样本独立，分别以 记对应于老新过程的总体的均值，试在显著性水平 下检验假设,5,解：根据题意，提出假设,拒绝域,样本计算值,统计量,1.某种导线，要求其电阻的方差不得超过 。今在生产的一批导线中取样品9根，测得 。总体为正态分布，参数均未知。问在显著性水平 下能否认为这批导线的方差为 。,或,不在拒绝域内，接受原假设，认为方差为 。,6,解：根据题意,拒绝域,样本计算值为,统计量,不在拒绝域内，接受原假设。,2.有两台机器生产金属部件。分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为 的样本，测得部件重量的样本方差分别为 。设两样本相互独立。两总体分别服从正态分布 均未知且两样本独立。试在显著性水平 下检验假设。,7,拒绝域,样本计算值为,统计量,显然不在拒绝域内，接受原假设。,3.测得两批电子器件得样品的电阻为,A,批(,x,),B,批(,y,),设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布,均未知，且两样本独立。,试在显著性水平 下检验假设,8,拒绝域,样本计算值为,统计量,显然不在拒绝域内，接受原假设。,3.测得两批电子器件得样品的电阻为,A,批(,x,),B,批(,y,),设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布,均未知，且两样本独立。,试在显著性水平 下检验假设,