多元函数的极值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 多元函数的极值,一 多元函数的极值,二 多元函数的最值,三 条件极值,一 多元函数的极值,1 极值的定义,设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点 都有,则称函数 在点P,0,处取得极大值,如果有,则称函数 在点P,0,处取得极小值,函数的极大值和极小值统称为,极值,，使函数取得极值的点称为,极值点,。,例如函数 在点（0，0）处取得极小值，如下左图：,o,x,y,z,o,x,y,z,函数 在点（0，0）处取得极大值，如上右图：,如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。,2 二元函数极值存在的必要条件,定理1 设函数 在点 处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点 有,证明：,因为 是函数 的极值，,若固定,则 是 一个一元函数，,则该,函数在 处取得极值，,又因为 对,处可导，故,同理可证,将二元函数的两个偏导数为零的点称为,驻点,，则必要条件可叙述为：,可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。,3 极值存在的充分条件,定理1 设函数 在点 的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点 是函数的驻点，即,设,则,（1）当,点 是极值点，,且 时，,点 是极大值点，,点 是极小值点。,且 时，,（2）当 时，点 不是极值点。,（3）当 时，,是否为极值点。,不能确定点,总结：求极值的步骤：,第一步：,确定定义域（若未给出）；,第二步：,解方程组,求得一切实数解，可得一切驻点。,第三步：,对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。,第四步：,定出 的符号，按充分条件的结论做出结论。,例1 求函数 的极值。,解：此函数的定义域为,解方程组,解得驻点（0，1），又,所以,故函数在点（0，1）,取得极小值，为0。,例2 求函数 的极值。,解：此函数的定义域为,解方程组,解得驻点P,1,(-1,-1)，P,2,(0,0)，P,3,(-1,-1)，又,列表讨论如下：,驻点,参数,P,1,（-1，-1）,P,2,（0，0）,P,3,（1，1）,A,B,C,B,2,-AC,z,10,10,10,10,-2,-2,-2,-2,-2,-96,-96,0,-2,极小值,0,不能确定,-2,极小值,例3 求证函数 有无穷多个极大值点而无一个极小值点。,解：此函数的定义域为,解方程组,得,又,所以,故当 为奇数时，,无极值。,故当 为偶数时，,-20,，函数z有极大值，即当 时，,且A=,函数 有极大值。,由于 取整数，,所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。,二 多元函数的最值,函数 如果在有界闭区域D上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。,求二元函数最值的方法是：,将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值,。,例4 求函数 在闭区域,上的最值。,解：由于函数z在区域D内处处可微，解方程组,得驻点（6，-8），函数在该点处的值为,在D的边界上，将,代入函数中得,由于,所以在边界上函数的最大值为125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上的最大值为125，最小值为-100。,例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。,在体积V是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材料最省？,解：设圆柱的底面半径为 ，高为H，圆锥的高为 ，由题意得,所以,又,定义域为,解方程组,解得驻点,代入,H,的,表达式得 。,从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件,下，存在最小的表面积。,故制作时应取,才能使制作材料最省。,总结求实际问题的最值步骤如下：,第一步：建立函数关系式，确定定义域；,第二步：求出所有驻点；,第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。,三 条件极值,先看如下的例子：,在 的条件下，求函数 的极值。,解：,从 中解出,并代入,中得,这是一个一元函数，可用一元函数,求极值的方法解，不难得到在点 处取得极值,为,这类问题称为,条件极值,，称为,约束条件,。,当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。,对于条件极值问题，我们经常采用所谓,Lagrange乘数法,，步骤如下：,第一步,：,构造辅助函数（Lagrange函数）；,第二步：,解方程组,第三步：,判断所有驻点是否为极值点。,例6 某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总,产量为42件，如果生产甲产品 件，生产乙产品,件，则总成本函数为,单位为元，求最小成本。,解：约束条件为,构造 Lagrange 函数：,解方程组：,得驻点（25，17）。,由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为：,C（25，17）=825,2,-2517+1217,2,=8043（元）,这个方法还可以推广：,（1）如：目标函数为：,约束条件为：，可设Lagrange函数：,然后解下面方程组讨论。,（2）如目标函数为：,约束条件有,两个：,可设Lagrange函数：,然后解右侧方程,组加以讨论。,