命题及其关系、充分条件与必要条

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,课时 命题及其关系、充分,条件与必要条件,1命题,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作,，判断为假的语句叫作,基础知识梳理,真命题,假命题,2四种命题及其关系,(1)四种命题,若原命题为,“若,p,，则,q,”，则其逆命题是,；否命题是,；逆否命题是,.,基础知识梳理,若,q,，则,p,若,p,，则,q,若,q,，则,p,“否命题,”与“命题的否定”有何不同？,【思考提示】,“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若,p,，则,q,”，那么这个原命题的否定是,“若,p,，则非,q,”，即只否定结论，而原命题的否命题是,“若,p,，则,q,”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论,基础知识梳理,思考？,(2)四种命题间的关系,基础知识梳理,3充要条件,(1)若,p,q,且,q,/,p,，则,p,是,q,的,条件，,q,是,p,的,条件；,若,p,q,且,q,p,，则,p,是,q,的,条件，,q,也是,p,的,条件,(2)若,A,、,B,为两个集合，满足,A,B,，设,A,x,|,p,(,x,)，,B,x,|,q,(,x,)，则,p,是,q,的,条件，,q,是,p,的,条件；若,A,B,，则,p,是,q,的,条件,基础知识梳理,充分不,必要,必要不充分,充分必要,充分必要,充分不必要,必要不充分,充分必要,1下列命题是假命题的是(),A若,ac,2,bc,2,，则,a,b,B53,C若,M,N,，则ln,M,ln,N,D若sin,sin,，则,的逆命题,答案：C,三基能力强化,2(2009年高考湖南卷改编)对于非零向量,a,、,b,，,“,a,2,b,0”是,“,a,b,”的(),A充分不必要条件,B必要不充分条件,C充分必要条件,D既不充分也不必要条件,答案：A,三基能力强化,3(教材习题改编)命题,“若,a,2,b,2,0，,a,，,b,R，则,a,b,0”的逆否命题是(),A若,a,b,0(,a,，,b,R)，则,a,2,b,2,0,B若,a,b,0(,a,，,b,R)，则,a,2,b,2,0,C若,a,0且,b,0(,a,，,b,R)，则,a,2,b,2,0,D若,a,0或,b,0(,a,，,b,R)，则,a,2,b,2,0,答案：D,三基能力强化,4,a,1是直线,y,ax,1与,y,(,a,2),x,3垂直的_条件,答案：充要,三基能力强化,5下列命题：,若一个整数的末尾数字为0，则这个整数能被5整除；,奇函数的图象关于原点中心对称；,矩形的对角线相等,其逆否命题为真命题的序号为_,答案：,三基能力强化,(1)判断命题的真假，可先写出命题，分清条件与结论，直接判断；,(2)如果不易判断，可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断,课堂互动讲练,考点一,命题的判定,课堂互动讲练,例1,判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由,(1)矩形难道不是平行四边形吗？,(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？,(3)一个数不是合数就是质数；,(4)大角所对的边大于小角所对的边；,(5),x,y,是有理数，则,x,，,y,也都是有理数；,(6)求证：,x,R，方程,x,2,x,10无实数根,课堂互动讲练,【思路点拨】,根据命题、真命题、假命题的概念进行判定,【解】,(1)通过反意疑问句，对矩形是平行四边形作出判断，是真命题,(2)疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线平行作出判断，不是命题,(3)是命题，是假命题，1不是合数也不是质数,(4)是命题，是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中,(5)是命题，是假命题，若,x,，,y,.,(6)祈使句，不是命题,课堂互动讲练,【名师点评】,判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句、反意疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题,课堂互动讲练,在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的,“逆命题”“否命题”和“逆否命题”,课堂互动讲练,考点二,四种命题及其关系,课堂互动讲练,例2,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假,(1)面积相等的两个三角形是全等三角形,(2)若,q,1，则方程,x,2,2,x,q,0有实根,(3)若,x,2,y,2,0，则实数,x,、,y,全为零,(4)若,x,、,y,都是奇数，则,x,y,是偶数,课堂互动讲练,【思路点拨】,写成,“若,p,，则,q,”的形式,写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假,【解】,(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题,否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题,逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题,(2)逆命题：若方程,x,2,2,x,q,0有实根，则,q,1，真命题,否命题：若,q,1，则方程,x,2,2,x,q,0无实根，真命题,逆否命题：若方程,x,2,2,x,q,0无实根，则,q,1，真命题,课堂互动讲练,(3)逆命题：若实数,x,，,y,全为零，则,x,2,y,2,0，真命题,否命题：若,x,2,y,2,0，则实数,x,，,y,不全为零，真命题,逆否命题：若实数,x,，,y,不全为零，则,x,2,y,2,0，真命题,课堂互动讲练,(4)逆命题：若,x,y,是偶数，则,x,、,y,都是奇数，是假命题；,否命题：若,x,、,y,不都是奇数，则,x,y,不是偶数，是假命题；,逆否命题：若,x,y,不是偶数，则,x,、,y,不都是奇数，是真命题,课堂互动讲练,【名师点评】,(1)“都是,”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，因为“,x,、,y,不都是奇数,”包含“,x,是奇数,y,不是奇数,”、“,x,不是奇数,y,是奇数,”、“,x,、,y,都不是奇数,”三种情况；(2)“,x,0或,y,0”的否定是,“,x,0且,y,0”，而不是,“,x,0或,y,0”，因为,“,x,0或,y,0”包含,“,x,0且,y,0”、,“,x,0且,y,0”、,“,x,0且,y,0”三种情况,课堂互动讲练,判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义如果,p,q,，则,p,叫做,q,的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称,q,是,p,的必要条件；如果,q,p,，则,p,叫做,q,的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的,课堂互动讲练,考点三,充分条件与必要条件的判定,课堂互动讲练,条件为必要的，也可称,q,是,p,的充分条件；如果既有,p,q,，又有,q,p,，记作,p,q,，则,p,叫做,q,的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的,课堂互动讲练,例3,指出下列各组命题中，,p,是,q,的什么条件？,(1),p,：,a,b,2，,q,：直线,x,y,0与圆(,x,a,),2,(,y,b,),2,2相切；,(2),p,：|,x,|,x,，,q,：,x,2,x,0；,(3)设,l,，,m,均为直线，,为平面，其中,l,，,m,，,p,：,l,，,q,：,l,m,；,课堂互动讲练,【思路点拨】,(1)先分清命题的条件与结论；,(2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证,【解】,(1)若,a,b,2，圆心(,a,，,b,)到直线,x,y,0的距离,d,r,，所以直线与圆相切，,反之，若直线与圆相切，则|,a,b,|2，,a,b,2，,故,p,是,q,的充分不必要条件,课堂互动讲练,(2)若|,x,|,x,，则,x,2,x,x,2,|,x,|0成立,反之，若,x,2,x,0，,即,x,(,x,1)0，则,x,0或,x,1.,当,x,1时，|,x,|,x,x,，,因此，,p,是,q,的充分不必要条件,(3),l,l,m,，但,l,m,l,，,p,是,q,的必要不充分条件,课堂互动讲练,且,时，tan,tan,，反之也成立,p,是,q,的充要条件,课堂互动讲练,【名师点评】,(1)要分清充分性和必要性；,(2)注意两种说法,“,p,是,q,的必要不充分条件,”与“,q,的必要不充分条件是,p,”是等价的；,(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围,课堂互动讲练,解：,(1)若,a,b,2，圆心(,a,，,b,)到直线,x,y,0的距离,d,r,，所以直线与圆相切，若直线与圆相切，则|,a,b,|2，,a,b,2，故,q,是,p,的必要不充分条件,课堂互动讲练,互动探究,例3中其他条件不变，,q,是,p,的什么条件？,(2)若|,x,|,x,，则,x,2,x,x,2,|,x,|0成立，,若,x,2,x,0，即,x,(,x,1)0，,则,x,0或,x,1.当,x,1时，|,x,|,x,x,，,因此，,q,是,p,的必要不充分条件,(3),l,/,l,m,，,l,m,l,，,q,是,p,的充分不必要条件,课堂互动讲练,课堂互动讲练,证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性证明时，不要认为它是推理过程的,“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明,课堂互动讲练,考点四,充要条件的证明,课堂互动讲练,例4,(解题示范)(本题满分12分),求证方程,ax,2,2,x,10有且只有一个负数根的充要条件为,a,0或,a,1.,【思路点拨】,(1)注意讨论,a,的不同取值情况；,(2)利用根的判别式求,a,的取值范围,课堂互动讲练,【证明】,充分性：,当,a,0时，方程变为2,x,10，,其根为,x,，方程只有一负根.2分,当,a,1时，,方程为,x,2,2,x,10，其根为,x,1，,方程只有一负根.4分,当,a,0时，4(1,a,)0，,方程有两个不相等的根，且 0，方程有一正一负根.6分,必要性：,若方程,ax,2,2,x,10有且仅有一负根,当,a,0时，适合条件,当,a,0时，方程,ax,2,2,x,10有实根，,则44,a,0，,a,1，8分,当,a,1时，方程有一负根,x,1.,课堂互动讲练,若方程有且仅有一负根，则 ，,a,0.,综上，方程,ax,2,2,x,10有且仅有一负根的充要条件为,a,0或,a,1.12分,课堂互动讲练,【思维总结】(1)条件已知证明结论成立是充分性结论已知推出条件成立是必要性；,(2)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论,课堂互动讲练,(本题满分10分)求证：关于,x,的方程,x,2,mx,10有两个负实根的充要条件是,m,2.,证明：,(1)充分性：因为,m,2，,所以,m,2,40，,方程,x,2,mx,10有实根,设,x,2,mx,10的两个实根为,x,1,、,x,2,，,由根与系数的关系知,x,1,x,2,10，,所以,x,1,、,x,2,同号,又因为,x,1,x,2,m,2，,所以,x,1,、,x,2,同为负根.4分,课堂互动讲练,高考检阅,(2)必要性：因为,x,2,mx,10的两个实根,x,1,、,x,2,均为负，且,x,1,x,2,1，,所以,m,2(,x,1,x,2,)2,(,x,1,)2,0，8分,所以,m,2.,综合(1)(2)知命题得证.10分,课堂互动讲练,1四种命题间的关系,在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的,“逆命题”“否命题”和“逆否命题”,规律方法总结,2命题中条件与大前提的关系,当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或多个)作为大前提,规律方法总结,3