微分与微分技术

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4微分与微分技术,边长由,3.4.1 微分的概念,引例,: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x, 面积为,S, 则,面积的增量为,关于,x,的线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,其,定义3.3,的微分,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,一、微分的定义,注意,定理3.6,函数,证:,“必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,重要结论：,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,1.,2,若函数,f,(,x,)在区间I内点任一点都可导,则在I内,任意点x的微分记为,规定自变量x的微分为自变量的改变量,即,则有,从而有,即,函数微分与自变量微分之商等于函数的导数.,微分的几何意义,当 很小时,切线纵坐标的增量,二、几何意义,三、,基本初等函数的微分公式与微分运算法则,设,u,(,x,) ,v,(,x,) 均可微 , 则,(,C,为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,(一)基本初等函数的微分公式(,见教材P.113,),(二)微分运算法则:,例3.31,求,解:,令,u,= 2,x,+1，则,例3.32,求,解:,例3.33,求,解:,3.4.2 隐函数的微分法,若由方程,可确定,y,是,x,的函数 ,由,表示的函数 , 称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法:,两边对,x,求导,(含导数 的方程),例3.34,求由方程,的导数。,解法1,解之得,确定的隐函数,解法2,方程两边对,x,求导,方程两边 求微分得,解之得,例3.35,求由方程,确定的隐函数,的二阶导数。,解,方程,两端对,x,求导得,（3.4.2）,解之得,将方程（3.4.2）两端再对,x,求导，注意到,也是,x,的函数，得,（3.4.3）,将（3.4.3）代入上式，得,补例,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例3.36,求,的导数 .,解:,两边取对数 , 化为隐式,两边对,x,求导,说明:,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便,例如,两边取对数,两边对,x,求导,又如,对,x,求导,两边取对数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成,x,是,y,的函数 ),关系,3.4.3 由参数方程确定的函数的导数,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,例3.38,已知椭圆的参数方程为,求椭圆在,相应点处的切线方程。,解,当,时，,椭圆上的相应点,M,0,的坐标是,曲线在,M,0,的切线斜率为,代入点斜式方程，,即,例3.39,计算由摆线的参数方程（图见教材P.119）,所确定的函数,的二阶导数。,即得椭圆在点,M,0,处的切线方程,解,x,y,o,p,a,2p,a,t,a,转化,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,四、 微分在近似计算中的应用,(略),当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,微分在估计误差中的应用,某量的精确值为,A,其近似值为,a,称为,a,的,绝对误差,称为,a,的,相对误差,若,称为测量,A,的,绝对误差限,称为测量,A,的,相对误差限,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算,y,值时的误差,故,y,的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得,x,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,(,u,是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,