2.2 函数的求导法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,XYZ123,2.2,函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、复合函数的求导法则,三、反函数的求导法则,四、基本求导公式及求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理,1,并且,在点,x,处也可导,.,则,它们的和、差,证,2.2,函数的求导法则,定理,2,并且,则,它们的积,在点,x,处也可导,.,定理,1,可,推广,到多个函数的情形,.,证,2.2,函数的求导法则,推论,(,C,为常数,),2.2,函数的求导法则,定理,3,则,它们的商,在点,x,处也可导,.,并且,证,2.2,函数的求导法则,特别地，,2.2,函数的求导法则,例,1,求 的导数,.,解,2.2,函数的求导法则,例,2,解,的导数,.,求函数,例,3,解,类似可得,即,2.2,函数的求导法则,例,4,解,类似可得,即,2.2,函数的求导法则,例,5,求 在 处的导数,.,解,代入得,将,2.2,函数的求导法则,定理,4,在点,x,0,可导,且其导数为,二、复合函数的求导法则,在点,x,0,可导,而,如果函数,在点,u,0,可导，则复合函数,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导,.,注,复合函数求导的链式法则,2.2,函数的求导法则,证,0,规定,在点,x,0,可导,从而连续，,因此,故,则,(*),(*),式仍成立,!,2.2,函数的求导法则,推广,可导，,注,复合函数求导的关键是把握复合函数的结构，从外到内逐层求导,.,2.2,函数的求导法则,例,6,求函数,的导数,.,解,由 和,复合而成，,例,7,求 （为任意常数）的导数,.,解,由 和,复合而成，,2.2,函数的求导法则,例,8,求,的导数,.,解,函数以下三个函数复合而成，,2.2,函数的求导法则,例,9,解,例,10,设 可导，求,的导数,.,解,2.2,函数的求导法则,例,11,求 的导数,.,解,先去掉绝对值符号再求导,.,当 时，,当 时，,综上，,2.2,函数的求导法则,三、反函数的求导法则,定理,5,若,严格单调连续函数,在点,y,处,可导,，并且,则它的,反函数,在,相应的点,x,处,可导,，且有,或,证,则,因函数 连续，,当,对等式,两边取极限，,即,反函数的导数等于直接函数导数的倒数,.,2.2,函数的求导法则,例,12,解,类似可得,内有,在,),1,1,(,-,x,为,的反函数，,2.2,函数的求导法则,例,13,解,2.2,函数的求导法则,1.,常数和基本初等函数的导数公式,四、基本求导公式及求导法则,2.2,函数的求导法则,2.,函数的和、差、积、商的求导法则,则,(,C,为常数,),(1),(2),(3),(4),2.2,函数的求导法则,则复合函数 也可导，且其导数为,3.,复合函数的求导法则,如果函数,都可导，,或,4.,反函数的求导法则,内也可导，且,或,2.2,函数的求导法则,初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合而成的，因此可以根据基本初等函数的导数、复合函数的导数以及导数的四则运算法则解决所有初等函数的求导问题,.,4.,初等函数的导数,初等函数在定义区间内连续，但不一定可导,!,注,2.2,函数的求导法则,（注意成立条件）,2.,复合函数的求导法则,3.,反函数的求导法则,（关键把握复合结构）,1.,函数的和、差、积、商的求导法则,牢记基本初等函数的导数公式和求导法则,.,内容小结,2.2,函数的求导法则,思考练习,2.2,函数的求导法则,下列说法是否正确？,),(,0,x,x,u,j,),(,0,0,x,u,j,=,),(,u,f,y,=,=,在,处不可导，,在,若,思考练习,解答,不正确,.,例如，,在 处不可导，,在 处不可导，,在 处却可导,.,链式法则对函数 和 所假设的条件是充分条件,.,2.2,函数的求导法则,