资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、定积分应用的类型,1,几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2,物理应用,变力作功,水压力,引力,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1.,构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、,“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须,是无穷小量之间的代替。将局部,上所对,应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成,定积分,2.,在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,三、典型例题,1.,几何应用,定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的,体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元,素、体积元素和弧长元素。,在,上求出微元解析式,把所求的量表示成定积分,确定积分变量和变化范围 ；,【,例,1】,求由 所围成图形的面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形,如图所示。如果取 为积分变量,则,设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元,素,就是在,上以“以直代曲”所形成的矩形面积。,解,：,(,1),确定积分变量和积分区间：,的交点为 和,取 为积分变量,则,由于曲线,和,（,2,）求微元：任取,如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间 所对应的矩形的面积。因此,（,3,）求定积分：所求的几何图形的面积表示为,计算上面的积分得：,【,例,2】,求由摆线,的一拱,与 轴所围成图形的面积,.,分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，,设区间 所对应的曲边梯形面积为,则面积元素 就是在 上“以直代曲”,所形成的矩形面积。,如果取,为积分变量,则,.,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：选取,为积分变量，,(2),求微元：,那么面积元素 就是区间,所对应的,矩形的面积，即,.,(3),求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,【,例,3】,设由曲线,，,及 围成,平面图形,绕 轴,轴旋转而成的旋转体的体积。,分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕,轴旋转时，,取 为积分变量,;,绕 轴旋转时,取 为积分变量。,设区间,对,或对,或 所对应的曲边梯形为,是以直代曲,所形成的矩形为 则绕,轴、轴旋转而成的旋,转体的体积微元 就是矩形 分别绕,轴、轴,旋转而成的体积,.,解,:(,一,),求 绕轴旋转而成的旋转体的体积,（,1,）确定积分变量和积分区间：绕,轴旋转如图,旋转体体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的,旋转体的体积，即,（,2,）求微元：对,取 为积分变量,则,（,3,）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为,计算积分得：,（,1,）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,取 为积分变量,则,(,二,),求绕,轴旋转而成的旋转体的体积,（,2,）求微元：对,旋转体的体积元素,是 对应的矩形绕,轴所得的旋转体体积,即,（,3,）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为,计算积分得,:,【,例,4】,计算底面是半径为,2,的圆，而垂直于底面上一条固定,直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。,分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择,积分变量为,如果能求出平面,所截立体的截面面积 那么，,所对应的体积元素为,.,建立如图所示的坐标系，,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取 为积分变量,所以,（,2,）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），,其边长为 高为,所以截面积为,因此,对 所对应的体积元素为,（,3,）求定积分：所求立体的体积为,【,例,6】,计算半立方抛物线了 被抛物线,截得的一段弧的长度。,分析：所给定的曲线弧如图所示。,对 把区间 上,所对应的曲线段长 用切线段长,代替，则得到弧长的微元,的解析式,.,取积分变量为 则,取 为积分变量,则,解,:(,1,),确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点,的横坐标得,(2),求微元：,区间,所对应的曲线段长 用切线段长,来代替,得弧长元素,由于,从而,(3),求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,【,例,7】,求星形线 的全长,.,分析：曲线为参数方程，由于星形线关于,轴都对称,所以只须考虑第一象限中的情况。取参数,为积分变量，,对 把区间,上所对应的曲线,段长 用切线段长,代替,则得到曲线弧长的微元,的解析式。,解,:(,1),确定积分变量和积分区间,:,取参数 为积分变量,(2),求微元：把区间,上所对应的曲线弧长,用切线段长,代替,得弧长元微元,(3),求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,则所求曲线弧长为,注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标,来做，但积分时要注意积分上下限的确定。,6.3,定积分在物理学上的应用,定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节,仅给出作功、水压力和引力问题的例子。,重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。,特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选,取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。,一、变力沿直线所作的功,求物体沿直线从,a,移动到,b,时，变力,F,(,x,),所作的功,W,由定积分的物理意义,变力所作的功,功的元素：,一个单,求电场力所作的功,.,解,:,当单位正电荷距离原点,r,时,由,库仑定律,电场力为,则功的元素为,所求功为,位正电荷沿直线从距离点电荷,a,处移动到,b,处,(,a,b,),在一个带,+,q,电荷所产生的电场作用下,例,1.,体,求移动过程中气体压力所,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为,S,的活塞从,点,a,处移动到点,b,处,(,如图,),作的功,.,在底面积为,S,的圆柱形容器中盛有一定量的气,例,2.,解,:,建立坐标系如图,.,压强,p,与体积,V,成反比,即,功元素为,故作用在活塞上的力为,所求功为,恒温时,建立坐标系如图,.,解,:,例,3.,设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为,5 m,底圆半径为,3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功,?,x,(,kN,),这薄层水吸出桶外所作的功,(,功元素,),为,故所求功为,(kJ,),二、水压力,面积为,A,的平板,设水密度为,在水深,h,处的压强,:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受压力因平板上各点处处于不同水深所以压强不等,从而问题就需用积分解决,.,平板一侧所受的压力为,小窄条,x,x,+,d,x,上各点的压强近似为,的,液体,求桶的一个端面所受的压力,.,解,:,建立坐标系如图,.,端面圆的,故压力元素,端面所受压力为,方程为,一水平横放的半径为,R,的圆桶,内盛半桶密度为,例,4.,取,x,为积分变量,其变化区间为,0,R,三、引力,质量分别为,的质点,相距,r,二者间的引力,:,大小,:,方向,:,沿两质点的连线,若考虑,物体,对质点的引力,则需用积分解决,.,(,G,为引力系数,),设有一长度为,l,线密度为,的均匀细直棒,其中垂线上距,a,单位处有一质量为,m,的质点,M,试计,算该棒对质点的引力,.,在,例,5.,建立坐标系如图,.,解,:,将小段近似看成质点,其质量为,小段与质点的距离为,故,引力元素为,水平方向的分力元素为,=,0,作业：,
展开阅读全文