无穷小量、比较、替换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,蚌埠学院 高等数学,第七节 无穷小的比较,一、问题的提出,二、无穷小的比较,三、等价无穷小代换定理,四、小结与思考判断题,第一章,11/26/2024,1,例如,:,极限不同,反映了趋向于零的,“,快慢,”,程度不同,.,不可比,.,观察各极限,一、问题的提出,结论,:,11/26/2024,2,二、无穷小的比较,11/26/2024,3,例如,:,11/26/2024,4,例,1,.,解,例,2,.,解,11/26/2024,5,证,必要性,充分性,1,、等价充要性,:,意义,：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,定理,1,三、等价无穷小代换定理,11/26/2024,6,例如,:,常用等价无穷小,:,11/26/2024,7,例,3.,解,11/26/2024,8,若 ，则上述各式中的,x,可换为,f,(,x,),。,如：,2,、,等价无穷小代换定理,证,11/26/2024,9,例,3.,解,注意：,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,例,4.,解,11/26/2024,10,例,5,.,解,错解,无穷小代换原则：积商可部分代换，,和差只能总体代换,.,注意：不能滥用等价无穷小代换,.,11/26/2024,11,另例,2,.,解,另例,1,.,11/26/2024,12,1,无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,2,等价无穷小代换,高,(,低,),阶无穷小,;,等价无穷小,;,无穷小的阶,四、小结与思考判断题,代换：求极限的又一方法,11/26/2024,13,解答,1,：不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当,时,，,和,不能比较。,思考判断题,1,、,任何两个无穷小量都可以比较阶的大小。,2,、无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小,。,作业：,P59 1,、,4,（,1,、,2,、,3,）、,5,（,1,）,解答,2,：不一定,11/26/2024,14,