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*,7,.,3,合情推理与演绎推理,1,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1,.,合情推理,(1),定义,:,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理,.,类比,2,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,(2),归纳推理与类比推理,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,某些类似特征,某些已知特征,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,3,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,4,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2,.,演绎推理,(1),定义,:,从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,.,简言之,演绎推理是由一般到,的推理,.,(2)“,三段论,”,是演绎推理的一般模式,包括,大前提,已知的一般原理,;,小前提,所研究的特殊情况,;,结论,根据一般原理,对特殊情况作出的判断,.,特殊,5,2,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确,.,(,),(2),归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理,.,(,),(3),在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适,.,(,),(4),演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理,.,(,),(5),演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确,.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),6,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2,.,下面几种推理过程是演绎推理的是,(,),A,.,两条直线平行,同旁内角互补,如果,A,和,B,是两条平行直线的同旁内角,则,A+,B=,180,B,.,某校高三,(1),班有,55,人,(2),班有,54,人,(3),班有,52,人,由此得高三所有班人数超过,50,人,C,.,由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质,答案,答案,关闭,A,7,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3,.,(,教材习题改编,P,7,T,1,),如图,根据图中的数构成的规律可知,a,表示的数是,(,),A.12B.48C.60D.144,答案,答案,关闭,D,8,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4,.,给出下面类比推理,(,其中,Q,为有理数集,R,为实数集,C,为复数集,):,“,若,a,b,R,则,a-b=,0,a=b,”,类比推出,“,若,a,b,C,则,a-b=,0,a=b,”;,“,若,a,b,c,d,R,则复数,a+b,i,=c+d,i,a=c,b=d,”,类比推出,“,若,a,b,c,d,Q,若,“,a,b,R,则,a-b,0,ab,”,类比推出,“,若,a,b,C,则,a-b,0,ab,”,.,其中类比结论正确的个数是,(,),A,.,0B,.,1C,.,2D,.,3,答案,答案,关闭,C,9,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5,.,(,教材习题改编,P,7,T,2,),在平面内,若两个正三角形的边长的比为,1,2,则它们的面积比为,1,4,.,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为,1,2,则它们的体积比为,.,答案,答案,关闭,1,8,10,知识梳理,双基自测,自测点评,1,.,合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明,.,2,.,在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误,.,3,.,应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的,.,若大前提或小前提错误,则所得结论也是错误的,.,4,.,合情推理是发现结论的推理,;,演绎推理是证明结论的推理,.,11,考点,1,考点,2,考点,3,例,1,(1),如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为,2,0,+,2,1,=,3,第二个等式为,2,0,+,2,2,=,5,第三个等式为,2,1,+,2,2,=,6,第四个等式为,2,0,+,2,3,=,9,第五个等式为,2,1,+,2,3,=,10,依此类推,则第,99,个等式为,(,),2,0,+,2,1,=,3,2,0,+,2,2,=,5,2,1,+,2,2,=,6,2,0,+,2,3,=,9,2,1,+,2,3,=,10,2,2,+,2,3,=,12,2,0,+,2,4,=,17,2,1,+,2,4,=,18,2,2,+,2,4,=,20,2,3,+,2,4,=,24,A.2,7,+,2,13,=,8 320B.2,7,+,2,14,=,16 512,C.2,8,+,2,14,=,16 640D.2,8,+,2,13,=,8 448,12,考点,1,考点,2,考点,3,(2),有一个奇数组成的数阵排列如下,:,1,3,7,13,21,5,9,15,23,11,17,25,19,27,29,则第,30,行从左到右第,3,个数是,.,思考,如何进行归纳推理,?,13,考点,1,考点,2,考点,3,答案,:,(1)B,(2)1 051,解析,:,(1),依题意,用,(,t,s,),表示,2,t,+,2,s,题中的等式的规律为,:,第一行为,3(0,1);,第二行为,5(0,2),6(1,2);,第三行为,9(0,3),10(1,3),12(2,3);,第四行为,17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);,又因为,99,=,(1,+,2,+,3,+,+,13),+,8,因此第,99,个等式应位于第,14,行的从左至右的第,8,个位置,即是,2,7,+,2,14,=,16,512,故选,B.,(2),先求第,30,行的第,1,个数,再求第,30,行的第,3,个数,.,观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第,30,行的第,1,个数是,1,+,4,+,6,+,8,+,10,+,+,60,=,929,.,又第,n,行从左到右的第,2,个数比第,1,个数大,2,n,第,3,个数比第,2,个数大,2,n+,2,所以第,30,行从左到右的第,2,个数比第,1,个数大,60,第,3,个数比第,2,个数大,62,故第,30,行从左到右第,3,个数是,929,+,60,+,62,=,1,051,.,14,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数或式的变化规律,(,如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律,每个等式左边第一个指数和第二个指数的变化规律,);,然后用这种规律试一试这些特殊的数或式是否符合观察得到的规律,若不符合,则应继续寻找规律,;,若符合,则可运用此规律推出一般结论,.,15,考点,1,考点,2,考点,3,16,考点,1,考点,2,考点,3,(2)(2016,河南信阳、三门峡一模,),如图所示的一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下,:,4,=,2,2,4,+,12,=,16,=,4,2,4,+,12,+,20,=,36,=,6,2,4,+,12,+,20,+,28,=,64,=,8,2,由上述事实,请推测关于,n,的等式为,.,17,考点,1,考点,2,考点,3,答案,:,(1)1 000,(2)4,+,12,+,20,+,+,(8,n-,4),=,(2,n,),2,(,n,N,*,),18,考点,1,考点,2,考点,3,(2),由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下,:,4,=,2,2,4,+,12,=,16,=,4,2,4,+,12,+,20,=,36,=,6,2,4,+,12,+,20,+,28,=,64,=,8,2,归纳可得,:,等式左边是一个以,8,为公差,以,4,为首项的等差数列,右边是正偶数的平方,故第,n,个式子为,:4,+,12,+,20,+,+,(8,n-,4),=,(2,n,),2,(,n,N,*,),.,19,考点,1,考点,2,考点,3,例,2,(1),已知在正三角形,ABC,中,若点,P,是正三角形,ABC,的边,BC,上一点,且点,P,到另两边的距离分别为,h,1,h,2,正三角形,ABC,的高为,h,由面积相等可以得到,h=h,1,+h,2,;,则在正四面体,A-BCD,中,若点,P,是正四面体,A-BCD,的平面,BCD,上一点,且,P,到另三个面的距离分别为,h,1,h,2,h,3,正四面体,A-BCD,的高为,h,则,(,),A.,hh,1,+h,2,+h,3,B.,h=h,1,+h,2,+h,3,C.,hh,1,+h,2,+h,3,D.,h,1,h,2,h,3,与,h,的关系不定,20,考点,1,考点,2,考点,3,(2),在平面几何中,ABC,的内角,C,的平分线,CE,分,AB,所成线段的比为,.,把这个结论类比到空间,:,在三棱锥,A-BCD,中,(,如图,),平面,DEC,平分二面角,A-CD-B,且与,AB,相交于,E,则得到类比的结论是,.,思考,如何进行类比推理,?,21,考点,1,考点,2,考点,3,22,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点,:(1),找两类对象的对应元素,如,:,三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等,;(2),找对应元素的对应关系,如,:,两条边,(,直线,),垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等,.,23,考点,1,考点,2,考点,3,24,考点,1,考点,2,考点,3,(2),在平面几何中,“,若,ABC,的三边长分别为,a,b,c,内切圆半径为,r,则三角形面积为,S,ABC,=,(,a+b+c,),r,”,拓展到空间,类比上述结论,“,若四面体,A-BCD,的四个面的面积分别为,S,1,S,2,S,3,S,4,内切球的半径为,r,则四面体的体积为,”,.,25,考点,1,考点,2,考点,3,26,考点,1,考点,2,考点,3,27,考点,1,考点,2,考点,3,(2),求,f,(,-,2),+f,(,-,1),+f,(0),+f,(1),+f,(2),+f,(3),的值,.,思考,证明本例的大前提和小前提各是什么,?,28,考点,1,考点,2,考点,3,29,考点,1,考点,2,考点,3,30,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,3,如图所示,D,E,F,分别是,BC,CA,AB,上的点,BFD=,A,且,DE,BA.,求证,:,ED=AF,(,要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把,推理过程用简略的形式表示出来,),.,31,考点,1,考点,2,考点,3,32,考点,1,考点,2,考点,3,1,.,合情推理与演绎推理的区别,(1),归纳是由特殊到一般的推理,;,(2),类比是由特殊到特殊的推理,;,(3),演绎推理是由一般到特殊的推理,;,(4),从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明,;,而演绎推理若前提和推理形式正确,得到的结论一定正确,.,2,.,在数学研究中,得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,.,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向,.,数学结论的证明主要通过演绎推理来进行,.,3,.,“,三段论,”,式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论,.,33,考点,1,考点,2,考点,3,1,.,演绎推理常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性,.,2,.,合情推理运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据,.,34,
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