3.4 基本不等式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4,基本不等式,请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车,”,图案？,赵爽弦图,探,究图形中的不等关系,?,a=b,探究：,一个重要结,论：,思,考：你能给出它的证明吗？,证明：因为,问题引入,1,、两个正数,a,，,b,的,等差中项是,_;,两个正数,a,，,b,的等比中项是,_;,2,、对两个正数,a,b,，,又叫做正数,a,与,b,的,算术平均数,3,、对两个正数,a,b,，,又叫做正数,a,与,b,的,几何平均数,那么两个正数,a,b,的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的关系呢？,那么,a,2,+b,2,2 a b,那么,a+b 2,若,aR,bR,若,a0 b0,结论：,对任意两个正数,a,、,b,即,两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当它们相等时取等号,.,一正,：,a,b,都是整数,.,基本不等式,基本不等式的理解：“,一正，二定，三相等,”,二定,：,a,与,b,的和（或积）是定值,.,三相等,：当且仅当,a=b,时，等号成立,.,（分析法）,（综合法）,基本不等式的几何解释：,半,弦,PQ,不大于半径,OP,a,b,o,A,B,P,Q,例,1,、设,a,b,为正数，证明下列不等式：,解,：（,1,）,a,，,b,都是正数,0,，,0,=2,（当且仅当,a=b,时，等号成立）,随堂练习,1.,已知,a,、,b,、,c,都是正数，求证,（,1,）,(,a,b,)(,b,c)(c,a,),abc,解,：,a,，,b,，,c,都是正数,b,c,2 0,c,a,2,0,(,a,b,)(,b,c,)(,c,a,),即,(,a,b,)(,b,c,)(,c,a,),abc,.,a,b,2 0,=8abc,2,2,2,(,当且仅当,a=b=c,时，上式取等号）,2.,已知,a,、,b,、,c,都是正数，求证,(2)(,x,y,)(,x,2,y,2,)(,x,3,y,3,),x,3,y,3,.,解：,x,，,y,都是正数,x,y,2 0,x,2,0,，,y,2,0,，,x,3,0,，,y,3,0,x,2,y,2,2 0,x,3,y,3,2 0,(,x,y,)(,x,2,y,2,)(,x,3,y,3,),x,3,y,3,即,(,x,y,)(,x,2,y,2,)(,x,3,y,3,),x,3,y,3,.,2,2,2,（,当且仅当,x=y,时，式中取等号,）,（当且仅当,x=y,时，式中取等号）,随堂练习,例,1.,用篱笆围一个面积为,100m,2,矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,练习,:,已知直角三角形的面积等于,50,，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,.,解：设矩形菜园的长为,x m,，,宽为,y m,，,则,xy,=100,，,篱笆的长为,2,（,x+y,）,m.,等号当且仅当,x=y,时成立，此时,x=y=10.,答：这个矩形的长、宽都为,10m,时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是,40m.,例,2.,用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,结论,2,：,两个正数和为定值，则积有最大值,.,解：设矩形菜园的长为,x m,宽为,y m,则,2(x+y)=36,即,x+y,=18,，矩形菜园的面积为,xy,m,2,。,当且仅当,x=y,即,x=y=9,时,等号成立。,答：这个矩形的长为,9m,、宽为,9m,时，菜园的面积最大，最大面积是,81m,2,.,解：设矩形菜园的宽为,x,m,，,则长为（,36,2,x,）,m,，其中,0,x,18,，,则菜园的面积为,当且仅当,2,x,36,2,x,，即,x,9,时菜园面积最大,.,S,x,（362,x,）,2,x,（,36,2,x,）,即 菜园长,18m,，,宽为,9 m,时菜园面积最大为,162 m,2,.,练习：,用一段长为,36m,的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解实际问题的思路：,1,、正确理解题意，设变量时，一般可把欲求最大（小）的变量视为函数；,2,、建立有关函数关系，把实际问题转化为求函数的最大（小）问题；,3,、在允许的范围内，求出最大（小）值；,4,、根据实际问题写出答案,.,例,3.,某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,4800m,3,深为,3m,，,如果池底每,1m,2,的造价为,150,元，池壁每,1m,2,的造价为,120,元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？,解：设水池底面一边的长度为,x,m,，则水池的宽为,m,水池的总造价为,y,元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为,40m,的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是,297600,元,.,总结：,结论：,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,.,结论,2,：,两个正数和为定值，则积有最大值,.,变题：若正数,x,、,y,满足,x+,2,y,1.,求,的最小值,.,变题：求函数 的最大值,.,