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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第一章 推理与证明,1.1.2,类比推理,2,复习,2.,归纳推理的一般步骤,:,(1),通过观察个别情况发现某些相同性质,;,(2),从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题,(,猜想,).,1.,什么是归纳推理,?,部分整体,特殊 一般,3,从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子,.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的,；,茅草能割破手,.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的,.,这个推理过程是归纳推理吗？,4,试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：,(1)a=b,a+c=b+c;,(2)a=b,ac=bc;,(3),a=b,a,2,=b,2,;,等等。,猜想不等式的性质：,(1)a,b,a+c,b+c;,(2)a,b,ac,bc;,(3),a,b,a,2,b,2,;,等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,5,火星,地 球,相似点,:,绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部,分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。,地球上有生命,火星上可能有生命,猜想,火星上是否有生命？,相似点,:,6,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为,类比推理（简称类比）,类比推理的定义,:,简言之，类比推理是由,特殊到特殊,的推理,发,明行星三大,运动,定律的,开,普勒,曾说类,比推理是自然奧妙的,参与者,和自己最好的老,师,数学家波利亚曾指出,“,类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题,.,”,7,类比推理的特点,;,1.,类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是,以旧有的认识为基础,类比出新的结果,.,2.,类比是从一种事物的,特殊属性,推测另一种事物的,特殊属性,.,3.,类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能,.,类比推理的一般步骤,:,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤：,找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；,检验猜想。,8,例,1,、试将平面上的圆与空间的球进行类比,.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,9,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点,(x,0,y,0,),为圆心,r,为半径的圆的方程为,(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,=r,2,圆心与弦,(,非直径,),中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面,(,圆面,),的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点,(x,0,y,0,z,0,),为球心,r,为半径的球的方程为,(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,+(z-z,0,),2,=r,2,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,10,类比角度,实数的加法,实数的乘法,运算结果,若,a,bR,则,a+bR,运算律,(,交换律和结合律,),a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),逆运算,加法的逆运算是减法,使得方程,a+x=0,有唯一解,x=-a,单位元,a+0=a,练习,1,类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质,.,若,a,bR,则,abR,ab=ba,(ab)c=a(bc),乘法的逆运算是除法,使得,ax=1,有唯一解,x=1/a,a1=a,11,通过例,1,，练习,1,你能得到,类比推理的一般模式,吗？,类比推理的一般模式,:,所以,B,类事物可能具有性质,d,.,A,类事物具有性质,a,b,c,d,B,类事物具有性质,a,b,c,(a,b,c,与,a,b,c,相似或相同）,12,例,2,类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想,13,例,2,类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想,直角三角形,3,个面两两垂直的四面体,C,90,3,个边的长度,a,，,b,，,c,2,条直角边,a,，,b,和,1,条斜边,c,PDF,PDE,EDF,90,4,个面的面积,S,1,，,S,2,，,S,3,和,S,3,个“直角面”,S,1,，,S,2,，,S,3,和,1,个“斜面”,S,14,15,练习,2,由图,(1),有面积关系,:,则图,(2),有体积关系,:,图,(1),图,(2),16,例,3,.,在平面上,设,h,a,h,b,h,c,是三角形,ABC,三条边上的高,.P,为三角形内任一点,P,到相应三边的距离分别为,p,a,p,b,p,c,我们可以得到结论,:,试通过类比,写出在空间中的类似结论,.,平面上,空间中,图,形,结论,A,B,C,P,p,a,p,b,p,c,A,B,C,D,P,17,合情推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为,合情推理,。,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。,合情推理的应用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。,证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,18,
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