函数的对称性与函数的图象变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的对称性,有些函数,其图像有着优美的对称性，,同时又有着优美的对称关系式,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,-x,x,7,8,（偶函数）,Y=f(x)图像关于直线x=0对称,知识回顾,从,”,形”的角度看，,从,“,数,”,的角度看，,f(-x)=f(x),X,Y,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,f(x)=,f(4-x),f(1)=,f(0)=,f(-2)=,f(3,10,)=,f(6),f(4-3,10,),0,x,4-x,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,f(3),f(4),从,”,形”的角度看，,从,”,数,”,的角度看，,x,y,-,1,+x,-,1-,x,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(-1+x)=,f(-1-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,f(x)=,f(-2-x),Y,x,y=,f(x,),图像关于直线,x=a,对称,f(x)=,f(2a-x),f(a-x)=f(a+x),y=,f(x,),图像关于直线,x=0,对称,f(x)=,f(-x),特例：,a=0,轴对称性,思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于,对称,a+b,2,x=,直线,-x,x,x,y,o,f(-x)=-f(x),y=f(x)图像关于(0,0)中心对称,中心对称性,类比探究,a,从,”,形”的角度看，,从,”,数,”,的角度看，,f(x)=-f(2a-x),f(a-x)=-f(a+x),x,y,o,a,从,”,形”的角度看，,从,”,数,”,的角度看，,中心对称性,类比探究,a+x,a-x,y=f(x)图像关于(a,0)中心对称,b,a,f(a+x)=2b-f(a-x),f(2a-x)=2b-f(x),b,中心对称性,y=f(x)图像关于(a,b)中心对称,类比探究,x,y,o,思考？,(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于,对称,a+b,2,(,0),点,则函数图像关于,对称,a+b,2,(,C),点,-x x,函数图像关于直线x=0对称,f(-x)=f(x),函数图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),x=a,f(x)=f(2a-x),函数图像关于(0,0)中心对称,函数图像关于(a,0)中心对称,f(-x)=-f(x),f(a-x)=-f(a+x),f(x)=-f(2a-x),轴对称,中心对称性,a,练习:,(1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于,对称,(2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x),(4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x),(3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x),函数图象的变换及应用,函数图象是研究函数的重要工具,它能为所研究函数的数量关系及其图象特征提供一种”形”的直观体现,是利用”数形结合”解题的重要基础.,描绘函数图象的两种基本方法:,描点法,;(通过列表,描点,连线三个步骤完成),图象变换,;(即一个图象经过变换得到另一个与,之相关的函数图象的方法),函数图象的三大变换,平移,对称,伸缩,问题1：如何由f(x)=x,2,的图象得到下列各函数的图象？,（1）f(x-1)=(x-1),2,（2）f(x+1)=(x+1),2,（3）f(x)+1=x,2,+1,（4）f(x)-,1=x,2,-1,O,y,x,y=f(x-1),y=f(x+1),y=f(x)-1,y=f,(,x,),+1,函数图象的平移变换：,左右平移,y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向右平移|a|个单位,上下平移,y=f(x),y=f(x)+k,k0,向上平移k个单位,1,1,-1,-1,同步练习:,若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过,定点 .,若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2,关于直线 对称.,(5,-1),x=5,问题2.,设,f,(,x,)=(,x,0)，求函数,y,=-,f,(,x,)、,y,=,f,(-,x,)、,y,=-,f,(-,x,)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。,x,x,y,o,1,y=f,(,x,),x,x,y,o,1,y=f,(,x,),x,x,y,o,1,y=f,(,x,),y=-f,(,x,),y=f,(,-x,),y=-f,(,-,x,),对称变换,（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于,对称；,（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于,对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于,对称；,x 轴,y 轴,原 点,练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2,x,的图象的关系，并画出它们的示意图.,(,1)y=2,-x,(2)y=-2,x,(3)y=-2,-x,O,y,O,y,O,y,1,1,-1,1,-1,x,x,x,1.函数,y,=f(-x),与函数,y=f(x),的图像关于y轴对称,2.函数,y=-f(x),与函数,y=f(x),的图像关于x轴对称,3.函数,y=-f(-x),与函数,y=f(x),的图像关于原点对称,4,.函数,y=f(x),与函数,y=f(2a-x),的图像关于直线,对称,函数图象对称变换的规律:,思考:,“,函数,y=f(x),与函数,y=f(2a-x),的图像关于直线x=a对称,”,与,“,函数,y=f(x),满足,f(x)=f(2a-x),则函数,y=f(x),关于直线x=a对称,”,两者间有何区别?,对称变换是指,两个,函数图象之间的对称关系,而”满足,f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),有,y=f(x),关于直线x=a对称”是指,一个,函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.,x=a,问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？,（1）y=2,x,与y=2,|x|,O,x,y,由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：,y=2,x,保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上,y轴右侧部分,关于y轴对称的图形.,1,y=2,|x|,O,y,x,-4,1,4,-1,由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：,保留,y,=,f,(,x,)在,x,轴上方部分，再加上,x,轴,下方部分关于,x,轴对称到上方的图形,函数图象的对称变换规律：,（1）y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向上平移k个单位,k0,向下平移|k|个单位,（1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于,对称；,（2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于,对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于,对称；,函数图象的平移变换规律：,(4)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中,部分，再加上这部分关于,对称的图形.,(6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中,部分，再加上x轴下方部分关于,对称的图形.,x轴,y轴,原点,y,轴右侧,y,轴,x,轴上方,x,轴,左右平移,练习：已知函数,y,=,f,(,x,),的图象如图所，分别画,出下列函数的图象：,y,o,x,1,-,1,-,2,1,2,-,0.5,(1),y,=,f,(,-,x,),;,(2),y,=,-,f,(,x,).,y,o,x,1,-,1,-,2,1,2,-,0.5,y,=,f,(,-,x,),y,o,x,-,1,-,1,-,2,1,2,0.5,y,=,-,f,(,x,),(3),y,=,f,(,|,x|,),;,(4),y,=,|,f,(,x,)|.,练习：已知函数,y,=,f,(,x,),的图象如图所，分别画,出下列函数的图象：,y,o,x,1,-,1,-,2,1,2,-,0.5,(1),y,=,f,(,-,x,),;,(2),y,=,-,f,(,x,).,(3),y,=,f,(,|,x|,),;,(4),y,=,|,f,(,x,)|.,y,o,x,1,-,1,-,2,1,2,-,0.5,y,o,x,1,-,1,-,2,1,2,-,0.5,y,=,f,(|,x|,),y,=|,f,(,x,)|,例1.将函数y=2,-2x,的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式.,y=2,-2x,y=2,-2(x+1),-y=2,-2(-x+1),y=-2,2x-2,向左平移1个单位,关于原点对称,x换成,-x,y换成-y,x 换成 x+1,例2.已知函数,y=|2,x,-2|,（1）作出函数的图象；,（2）指出函数 的单调区间；,（3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=2,x,y=2,x,-2,y=|2,x,-2|,y=|2,x,-2|,例2.已知函数,y=|2,x,-2|,（1）作出函数的图象；,（2）指出函数 的单调区间；,（3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=|2,x,-2|,1函数,f,(,x,)ln|,x,1|的图像大致是(),解析：,函数,f,(,x,)ln|,x,1|的图像是由函数,g,(,x,)ln|,x,|向右平移1个单位得到的，故选B.,答案：,B,答案：,C,4使log,2,(,x,),x,1成立的,x,的取值范围是(),A(1,0)B1,0),C(2,0)D2,0),解析：,作出,y,log,2,(,x,)，,y,x,1的图像知满足条件的,x,(1,0),答案：,A,易错点一 对,“,平移,”,概念理解不深导致失误,【自我诊断】,把函数,y,log,2,(2,x,3)的图像向左平移1个单位长度得到函数_的图像,解析：,由题意，得所求函数解析式为,y,log,2,2(,x,1)3log,2,(2,x,1),答案：,y,log,2,(2,x,1),易错点二 判断图像的对称性失误,【自我诊断】,设函数,y,f,(,x,)的定义域为,R,，则函数,y,f,(,x,1)与,y,f,(1,x,)的图像关于(),A直线,y,0对称 B直线,x,0对称,C直线,y,1对称 D直线,x,1对称,解析：,方法一：,设(,x,1,，,y,1,)是,y,f,(,x,1)图像上任意一点，则,y,1,f,(,x,1,1)，而,f,(,x,1,1),f,1(2,x,1,)，说明点(2,x,1,，,y,1,)定是函数,y,f,(1,x,)上的一点，而点(,x,1,，,y,1,)与点(2,x,1,，,y,1,)关于直线,x,1对称，所以,y,f,(,x,1)的图像与,y,f,(1,x,)的图像关于直线,x,1对称，所以选D.,方法二：,函数,y,f,(,x,)与,y,f,(,x,)的图像关于,y,轴对称，,y,f,(1,x,),f,(,x,1)把,y,f,(,x,)与,y,f,(,x,)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到,y,f,(,x,1)与,y,f,(1,x,)的图像，对称轴,y,轴向右平移1个单位长度得直线,x,1，故选D.,方法三：(特殊值法)设,f,(,x,),x,2,，则,f,(,x,1)(,x,1),2,，,f,(1,x,)(,x,1),2,，由图可知(两图像重合)，函数,f,(,x,1)和,f,(1,x,)的图像关于直线,x,1对称，只有D正确,答案：,D,题型二,函数图像的识别,【例2】函数,y,f,(,x,)与函数,y,g,(,x,)的图像分别如图、所示,则函数,y,f,(,x,),g,(,x,)的图像可能是(),解析：,从,f,(,x,)、,g,(,x,)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故,f,(,x,),g,(,x,)是奇函数，排除B.,由,g,(,x,)图像不过(0,