命题及其关系、充分条件与必要条件

,1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,3充分条件与必要条件,(1),如果,p,q,，则,p,是,q,的,，,q,是,p,的,；,(2)如果,p,q,，,q,p,，则,p,是,q,的,4反证法与证命题的逆否命题,反证法首先,，,即假定结论,由此出发直至推出,、,；,证命题的逆否命题，即由,的否定推出,的,充分条件,必要条件,充要条件,否定结论,不成立,与题设、定义,定理相矛盾,结论,题设,否定,1 已知,p,是,r,的充分条件而不是必要条件，,q,是,r,的充分条件，,s,是,r,的必要条件，,q,是,s,的必要条件,现有下列命题：,s,是,q,的充要条件；,p,是,q,的充分条件，而不是必要条件；,r,是,q,的必要条,件，而不是充分条件；,綈,p,是,綈,s,的必要条件，而不是充分条件；,r,是,s,的,充分条件，而不是必要条件,则正确命题的序号是(),A,B,C,D,解析：,由已知条件可知：，,则,s,q,；,p,q,；又,p s,，,则,綈,s,綈,p,，因此,为正确命题,答案：,B,2若集合,P,1,2,3,4，,Q,x,|0,x,5,x,R，则(),A,“,x,P,”,是,“,x,Q,”,的充分条件但不是必要条件,B,“,x,P,”,是,“,x,Q,”,的必要条件但不是充分条件,C,“,x,P,”,是,“,x,Q,”,的充分必要条件,D,“,x,P,”,既不是,“,x,Q,”,的充分条件也不是,“,x,Q,”,的必要条件,答案：,A,3,(2009重庆),命,题,“,若一个数是负数，则它的平方是正数,”,的逆命题是(),A,“,若一个数是负数，则它的平方不是正数,”,B,“,若一个数的平方是正数，则它是负数,”,C,“,若一个数不是负数，则它的平方不是正数,”,D,“,若一个数的平方不是正数，则它不是负数,”,答案：,B,4,“,2,”,是,“,函数,y,sin(,x,)的最小正周期为,”,的(),A充分非必要条件 B必要非充分条件,C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,解析：,本题考查充分必要条件；由于,y,sin(,x,)的最小正周期为,T,，故其最小正周期若为，则,2，故,2是其最小周期为,的充分但不必要条件,答案：,A,5,一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；,是无理数；,经过平面,内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；,若向量,a,、,b,是平面向量的,一组基底，则,a,b,与,a,b,也是平面向量的一组基底,其中正确命题的代号是_,解析：,可用反证法证明，,都为正确命题,答案：,【例2】,若,ab,0，,试证,a,3,b,3,ab,a,2,b,2,0,成立的充要条件是,a,b,1.,证明,：,先,证必要性：,a,3,b,3,ab,a,2,b,2,0，,(,a,b,)(,a,2,ab,b,2,)(,a,2,ab,b,2,)0，即(,a,b,1)(,a,2,ab,b,2,)0，,又,ab,0，,a,2,ab,b,2,0，因此,a,b,10，即,a,b,1.,再证充分性：,a,b,1，即,a,b,10，,(,a,b,1)(,a,2,ab,b,2,)0.,即,a,3,b,3,ab,a,2,b,2,0.,变式2.,已知,a,、,b,是实数,，求证：,a,4,b,4,2,b,2,1,成立的充分条件是,a,2,b,2,1.,该条件,是否为必要条件,？,试证明你的结论,证明：,a,2,b,2,1，,a,4,b,4,2,b,2,(,a,2,b,2,)(,a,2,b,2,)2,b,2,(,a,2,b,2,)2,b,2,a,2,b,2,1.,即,a,4,b,4,2,b,2,1,成立的充分条件是,a,2,b,2,1.,另一方面又,a,4,b,4,2,b,2,1，,即为,a,4,(,b,4,2,b,2,1)0.,a,4,(,b,2,1),2,0，,(,a,2,b,2,1)(,a,2,b,2,1)0，,又,a,2,b,2,1,0，,a,2,b,2,10，,即,a,2,b,2,1.,因此,a,2,b,2,1,既是,a,4,b,4,2,b,2,1,的充分条件，也是,a,4,b,4,2,b,2,1,的必要条件,.,“,正难则反,”,是常见的数学思想方法，比如证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时，可考虑使用反证法，反证法在立体几何定理的推导过程中也有着较为广泛的应用,【例3】,已,知函数,f,(,x,)是(,，,)上的增函数，,a,、,b,R，对命题,“,若,a,b,0，,则,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),”,(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；,(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论,解答：(1),逆,命题是：若,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,)，则,a,b,0为真命题,用反证法证明：假设,a,b,0，则,a,b,，,b,a,.,f,(,x,)是(,，,)上的增函数，则,f,(,a,),f,(,b,)，,f,(,b,),f,(,a,)，,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真,(2)逆否命题：若,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,)，则,a,b,1 D,綈,p,：,x,R，sin,x,1,解析：,命题,p,是全称命题，全称命题的否定是特称命题,答案：,C,2设,p,、,q,是两个命题，则复合命题,“,p,q,为真，,p,q,为假,”,的充要条件是(),A,p,、,q,中至少有一个为真 B,p,、,q,中至少有一个为假,C,p,、,q,中有且只有一个为真 D,p,为真、,q,为假,答案：,C,3下列命题：,有的实数是无限不循环小数；,有些三角形不是等腰三角形；,有的菱,形是正方形；,2,x,1(,x,R)是整数；,对所有的,x,R，,x,3；,对任意,一个,x,Z,2,x,2,1为奇数,其中假命题的个数为(),A1 B2 C3 D5,答案：,B,4下列命题的否定错误的是(),A,p,：能被3整除的数是奇数；,綈,p,：存在一个能被3整除的数不是奇数,B,p,：任意四边形的四个顶点共圆；,綈,p,：存在一个四边形的四个顶点不共圆,C,p,：有的三角形是正三角形；,綈,p,：所有的三角形都不是正三角形,D,p,：,x,R，,x,2,2,x,2,0，,綈,p,：当,x,2,2,x,20时，,x,R,答案：,D,判断命题真假的一般步骤：,(1)首先确定新命题的构成形式；,(2)判断出用逻辑联结词联结的每个命题的真假；,(3)根据真值表判断这个复合命题的真假,【例1】,判断下列命题的真假,(1)属于集合Q，也属于集合R；,(2)矩形的对角线互相垂直或相等；,(3)不等式|,x,2|,0没有实数解,思路点拨：,先确定组成复合命题的每个简单命题的真假，再根据真值表判断复合命题的真假,解答：,(1),此,命题为,“,p,q,”,的形式，其中,p,：,Q，,q,：,R，因命题,p,为假命题，命题,q,为真命题，所以命题,“,p,q,”,为假命题故原命题为假命题,(2)此命题为,“,p,q,”,的形式，其中,p,：矩形的对角线互相垂直，,q,：矩形的对角线相等，因命题,p,为假命题，命题,q,为真命题，所以,p,q,为真命题，故原命题为真命题,(3)此命题是,“,綈,p,”,的形式，其中,p,：不等式|,x,2|,0有实数解因为,x,2是该不等式的一个解，所以命题,p,为真命题，即,綈,p,为假命题所以原命题为假命题.,1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合,M,中的每个元素,x,验证,p,(,x,)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合,M,中的一个,x,x,0,，使得,p,(,x,0,)不成立即可,2要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合,M,中，至少能找到一个,x,x,0,，使,p,(,x,0,)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题,【例2】,判,断以下命题的真假：,(1),x,R，,x,2,x,10；,(2),x,Q，,是有理数；,(3),，,R，使sin(,)sin,sin,；,(4),x,，,y,Z，使3,x,2,y,10；,(5),a,，,b,R，方程,ax,b,0恰有一个解,思维点拨：,(1)(2)(5)中含全称量词，使每一个,x,都成立才为真；(3)(4)中含,特称量词，存在一个,x,0,成立即为真,解答：(1),x,2,x,1,，,命,题为真命题,(2)真命题,(3),0时，sin(,)0，sin,sin,0，,sin(,)sin,sin,，,命题为真命题,(4),x,y,10时，3,x,2,y,10，,命题为真命题,(5),a,0，,b,1时，,ax,b,1,0，,a,0，,b,1时，,ax,b,0无解，,命题为假命题,变式2.(2009辽宁),下,列4个命题,p,1,：,x,(0，,)，,；,p,2,：,x,(0,1)，,p,3,：,x,(0，,)，,；,p,4,：,x,，,其中的真命题是(),A,p,1,，,p,3,B,p,1,，,p,4,C,p,2,，,p,3,D,p,2,，,p,4,解析：,对于,p,1,，当,x,(0，,)时，总有,成立，故是假命题；对于,p,2,，当,x,时，1 成立，故是真命题；对于,p,3,，结合指数函数,y,与对数函数,在(0，,)上的图象可以判断其是假命题；对于,p,4,，结合指数函数,y,与对数函数,y,在 上的图象可以判断其是真命题,答案：,D,对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可(2)要判断,“,綈,p,”,的真假，可以直接判断，也可以判断,p,的真假，利用,p,与,“,綈,p,”,的真假相反判断,【例3】,写,出下列命题的,“,否定,”,，并判断其真假,(1),p,：,x,R，,x,2,x,0；,(2),q,：所有的正方形都是矩形；,(3),r,：,x,R，,x,2,2,x,2,0；,(4),s,：至少有一个实数,x,，使,x,3,10.,思维点拨：,解决这类问题一定要抓住决定命题性质的量词，从量词的,否定入手，书写命题的否定,解答：(1),綈,p,：,x,R，,x,2,x,0，是假命题，,这是因为,x,R，,恒成立,(2),綈,q,：至少存在一个正方形不是矩形，假命题,(3),綈,r,：,x,R，,x,2,2,x,20，真命题，这是由于,x,R，,x,2,2,x,2,(,x,1),2,1,10成立,(4),綈,s,：,x,R，,x,3,1,0，假命题这是由于,x,1时，,x,3,10.,1一个命题的否定与否命题的区别,否命题与命题的否定不是同一概念，否命题是对原命题,“,若,p,则,q,”,既否定其 条件，又否定其结论；而命题,p,的否定即非,p,，只是否定命题的结论,命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假；而否命题与原命题的真假无必然联系,另外，在写,“,非,p,”,形式时常用以下表格中的否定词语：,【方法规律】,2.逻辑联结词与集合间的关系,逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着相近的关系，要注,意类比其中对逻辑联结词“或”的理解是难点(“或”有三层含义，以“,p,或,q,为真”,为例：一是,p,成立但,q,不成立，二是,p,不成立但,q,成立，三是,p,成立且,q,也成立).,(2009宁夏、海南),有,四个关于三角函数的命题：,p,1,：,x,R，；,p,2,：,x,，,y,R，sin(,x,y,)sin,x,sin,y,；,p,3,：,x,0，,sin,x,；,p,4,：sin,x,cos,y,x,y,.,其中的假命题是(),A,p,1,，,p,4,B,p,2,，,p,4,C,p,1,，,p,3,D,p,2,，,p,3,解析：,(1)由命题,